Номер 141, страница 104 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

141. На рисунке 192 ABCD — прямоугольник, MNPK — квадрат. Докажите, что $NP \parallel AD$, $AB \parallel PK$.

Рис. 192

Доказательство, что $NP \parallel AD$

По условию, фигура $MNPK$ является квадратом. По определению квадрата, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, сторона $NP$ параллельна стороне $MK$:

$NP \parallel MK$

Из рисунка и условия задачи следует, что сторона $MK$ квадрата лежит на стороне $BC$ прямоугольника $ABCD$. Это означает, что прямые, содержащие отрезки $MK$ и $BC$, совпадают. Таким образом, параллельность $NP \parallel MK$ равносильна параллельности $NP \parallel BC$.

По условию, фигура $ABCD$ является прямоугольником. По определению прямоугольника, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, сторона $BC$ параллельна стороне $AD$:

$BC \parallel AD$

Итак, мы получили, что прямая $NP$ параллельна прямой $BC$, а прямая $BC$ в свою очередь параллельна прямой $AD$. По свойству транзитивности параллельности прямых (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой), следует, что $NP \parallel AD$.

Ответ: Доказано.

Доказательство, что $AB \parallel PK$

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, все его углы прямые. В частности, угол при вершине B равен $90^\circ$, то есть $\angle ABC = 90^\circ$. Это означает, что сторона $AB$ перпендикулярна стороне $BC$:

$AB \perp BC$

Так как $MNPK$ — квадрат, все его углы также прямые. В частности, угол при вершине K равен $90^\circ$, то есть $\angle PKM = 90^\circ$. Это означает, что сторона $PK$ перпендикулярна стороне $MK$:

$PK \perp MK$

Как было установлено ранее, сторона $MK$ лежит на прямой $BC$. Следовательно, если прямая $PK$ перпендикулярна прямой $MK$, то она перпендикулярна и прямой $BC$:

$PK \perp BC$

Таким образом, мы имеем две прямые ($AB$ и $PK$), которые перпендикулярны одной и той же третьей прямой ($BC$). Согласно теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, эти две прямые параллельны между собой. Следовательно, $AB \parallel PK$.

Ответ: Доказано.