Номер 144, страница 104 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

144*. Если две параллельные прямые пересечь двумя другими перпендикулярными им параллельными прямыми, получится прямоугольник. Сколько всего прямоугольников можно насчитать в прямоугольной таблице, у которой 2 строки и 3 столбца?

Для решения задачи по подсчету всех прямоугольников в таблице размером 2 строки и 3 столбца необходимо определить, сколькими способами можно выбрать стороны этих прямоугольников.

Любой прямоугольник в такой таблице образован двумя горизонтальными и двумя вертикальными линиями сетки. Таким образом, задача сводится к подсчету количества способов выбрать 2 горизонтальные линии и 2 вертикальные линии.

Таблица, имеющая 2 строки, разделена $2+1=3$ горизонтальными линиями.

Таблица, имеющая 3 столбца, разделена $3+1=4$ вертикальными линиями.

Количество способов выбрать 2 горизонтальные линии из 3-х имеющихся определяется числом сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n=3$ и $k=2$.

Число пар горизонтальных линий: $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$.

Аналогично, количество способов выбрать 2 вертикальные линии из 4-х имеющихся, где $n=4$ и $k=2$.

Число пар вертикальных линий: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Чтобы найти общее количество прямоугольников, нужно перемножить количество способов выбора пар горизонтальных линий на количество способов выбора пар вертикальных линий.

Общее количество прямоугольников = $C_3^2 \times C_4^2 = 3 \times 6 = 18$.

Также можно проверить результат, пересчитав все возможные прямоугольники по их размерам:
- Прямоугольники размером 1x1: $2 \times 3 = 6$
- Прямоугольники размером 1x2: $2 \times 2 = 4$
- Прямоугольники размером 1x3: $2 \times 1 = 2$
- Прямоугольники размером 2x1: $1 \times 3 = 3$
- Прямоугольники размером 2x2: $1 \times 2 = 2$
- Прямоугольники размером 2x3: $1 \times 1 = 1$
Сложив все, получаем общее количество: $6 + 4 + 2 + 3 + 2 + 1 = 18$.

Ответ: 18