Номер 23, страница 39 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

23. Внутри прямого угла $KMN$ проведены лучи $MA$ и $MB$, $\angle KMB = 72^\circ$, $\angle AMN = 48^\circ$. Найдите $\angle AMB$.

23.

По условию задачи, угол $ \angle KMN $ является прямым, следовательно, его величина составляет $90^\circ$. Лучи MA и MB проведены внутри этого угла.

Рассмотрим, как угол $ \angle KMN $ связан с данными углами. Угол $ \angle KMN $ можно представить как сумму углов $ \angle KMB $ и $ \angle BMN $.

$ \angle KMN = \angle KMB + \angle BMN $

Подставим известные значения, чтобы найти величину угла $ \angle BMN $:

$ 90^\circ = 72^\circ + \angle BMN $

$ \angle BMN = 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ $

Аналогично, угол $ \angle KMN $ можно представить как сумму углов $ \angle KMA $ и $ \angle AMN $.

$ \angle KMN = \angle KMA + \angle AMN $

Подставим известные значения, чтобы найти величину угла $ \angle KMA $:

$ 90^\circ = \angle KMA + 48^\circ $

$ \angle KMA = 90^\circ - 48^\circ = 42^\circ $

Теперь мы знаем величины углов, которые лучи MA и MB образуют со сторонами прямого угла KMN. Весь прямой угол $ \angle KMN $ состоит из трех последовательно расположенных углов: $ \angle KMA $, $ \angle AMB $ и $ \angle BMN $. Их сумма равна $90^\circ$.

$ \angle KMN = \angle KMA + \angle AMB + \angle BMN $

Подставим в это равенство найденные ранее значения углов $ \angle KMA $ и $ \angle BMN $:

$ 90^\circ = 42^\circ + \angle AMB + 18^\circ $

Сложим известные углы в правой части уравнения:

$ 90^\circ = 60^\circ + \angle AMB $

Теперь найдем искомый угол $ \angle AMB $:

$ \angle AMB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ $

Ответ: $30^\circ$