Номер 31, страница 44 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

31. На рисунке 77 углы $MON$ и $KON$ — смежные, угол $MON$ на $70^\circ$ больше угла $KON$. Найдите $\angle MON$.

Рис. 77

По условию задачи, углы $ \angle MON $ и $ \angle KON $ являются смежными. Свойство смежных углов заключается в том, что их сумма равна $ 180^\circ $.

Запишем это в виде уравнения:

$ \angle MON + \angle KON = 180^\circ $

Также дано, что угол $ \angle MON $ на $ 70^\circ $ больше угла $ \angle KON $. Это можно записать как:

$ \angle MON = \angle KON + 70^\circ $

Теперь мы можем составить систему из двух уравнений, но проще подставить второе выражение в первое:

$ (\angle KON + 70^\circ) + \angle KON = 180^\circ $

Решим полученное уравнение, чтобы найти величину угла $ \angle KON $.

$ 2 \cdot \angle KON + 70^\circ = 180^\circ $

Перенесем $ 70^\circ $ в правую часть уравнения:

$ 2 \cdot \angle KON = 180^\circ - 70^\circ $

$ 2 \cdot \angle KON = 110^\circ $

Найдем $ \angle KON $:

$ \angle KON = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ $

Теперь, зная величину угла $ \angle KON $, мы можем найти величину искомого угла $ \angle MON $, используя второе уравнение:

$ \angle MON = \angle KON + 70^\circ = 55^\circ + 70^\circ = 125^\circ $

Проверим: сумма углов $ 125^\circ + 55^\circ = 180^\circ $, что верно для смежных углов. Разность углов $ 125^\circ - 55^\circ = 70^\circ $, что соответствует условию задачи.

Ответ: $ 125^\circ $.