Номер 4, страница 18 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

4. Изобразите прямые $m$ и $n$, которые пересекаются в точке $A$. На прямой $m$ отметьте точку $M$, на прямой $n$ — точку $N$. Проведите прямую $MN$. Сколько всего отрезков получилось на рисунке? Какую фигуру образуют эти отрезки? Проведите прямую $k$, которая пересекает прямые $m$, $n$ и $MN$ и не проходит через точки $A$, $M$ и $N$. Сколько теперь отрезков изображено на рисунке? На сколько частей указанные четыре прямые разбили плоскость?

Сначала построим чертеж согласно условию. 1. Проведем две прямые $m$ и $n$, пересекающиеся в точке $A$. 2. На прямой $m$ отметим точку $M$, отличную от $A$. 3. На прямой $n$ отметим точку $N$, отличную от $A$. 4. Проведем прямую через точки $M$ и $N$. В результате у нас есть три точки: $A$, $M$, $N$, которые не лежат на одной прямой.

Сколько всего отрезков получилось на рисунке?

На рисунке отмечены три точки: $A$, $M$ и $N$. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Мы можем соединить эти точки попарно, чтобы получить отрезки:

• Отрезок $AM$ (концы $A$ и $M$, лежит на прямой $m$).
• Отрезок $AN$ (концы $A$ и $N$, лежит на прямой $n$).
• Отрезок $MN$ (концы $M$ и $N$, лежит на прямой $MN$).

Всего получилось 3 отрезка.

Ответ: 3 отрезка.

Какую фигуру образуют эти отрезки?

Точки $A$, $M$ и $N$ не лежат на одной прямой (так как $A$ и $M$ лежат на прямой $m$, а $N$ — на прямой $n$, не совпадающей с $m$). Три точки, не лежащие на одной прямой, соединенные отрезками, образуют треугольник. В данном случае это треугольник $AMN$.

Ответ: треугольник.

Проведите прямую k, которая пересекает прямые m, n и MN и не проходит через точки A, M и N. Сколько теперь отрезков изображено на рисунке?

Проведем прямую $k$. По условию, она пересекает три другие прямые, но не в точках их пересечения ($A, M, N$). Обозначим новые точки пересечения:

• $P$ — точка пересечения прямой $k$ и прямой $m$.
• $Q$ — точка пересечения прямой $k$ и прямой $n$.
• $R$ — точка пересечения прямой $k$ и прямой $MN$.

• На прямой $m$ теперь 3 точки: $A, M, P$. Они образуют 3 отрезка: $AM, AP, MP$.
• На прямой $n$ теперь 3 точки: $A, N, Q$. Они образуют 3 отрезка: $AN, AQ, NQ$.
• На прямой $MN$ теперь 3 точки: $M, N, R$. Они образуют 3 отрезка: $MN, MR, NR$.
• На новой прямой $k$ 3 точки: $P, Q, R$. Они образуют 3 отрезка: $PQ, PR, QR$.

Суммарное количество отрезков равно $3 + 3 + 3 + 3 = 12$.

Ответ: 12 отрезков.

На сколько частей указанные четыре прямые разбили плоскость?

Мы имеем четыре прямые: $m, n, MN, k$. Найдем количество частей, на которые они делят плоскость. Будем добавлять прямые по одной:

• Одна прямая ($m$) делит плоскость на 2 части.
• Вторая прямая ($n$) пересекает первую, добавляя еще 2 части: $2 + 2 = 4$.
• Третья прямая ($MN$) пересекает первые две в двух разных точках ($M$ и $N$), поэтому она добавляет еще 3 части: $4 + 3 = 7$.
• Четвертая прямая ($k$) пересекает три предыдущие прямые в трех разных точках ($P, Q, R$), так как она не проходит через точки $A, M, N$. Следовательно, она добавляет еще 4 части: $7 + 4 = 11$.

Можно также воспользоваться формулой для максимального числа областей $R_L$, на которые $L$ прямых в общем положении (никакие две не параллельны, никакие три не пересекаются в одной точке) делят плоскость: $R_L = \frac{L^2 + L + 2}{2}$. Для $L=4$: $R_4 = \frac{4^2 + 4 + 2}{2} = \frac{16 + 4 + 2}{2} = \frac{22}{2} = 11$.

Ответ: на 11 частей.