Задание 1, страница 23 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Задание 1

Назовите все отрезки (изображенные и которые можно изобразить) с концами в отмеченных на рисунке точках. Укажите общее число этих отрезков.

Перечень отрезков:

AB, AC, AK, AM, AN, BC, BK, BM, BN, CK, CM, CN, KM, KN, MN

Общее количество отрезков:

$C_6^2 = \frac{6 \cdot (6-1)}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Назовите все отрезки (изображенные и которые можно изобразить) с концами в отмеченных на рисунке точках.

На рисунке отмечено 6 точек: A, B, C, M, N, K. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, которые являются его концами. Чтобы перечислить все возможные отрезки, нужно составить все возможные уникальные пары из данных точек. Будем делать это последовательно.

1. Начнем с точки A и соединим ее со всеми остальными: AB, AC, AM, AN, AK.
2. Теперь возьмем точку B и соединим ее со всеми оставшимися точками (кроме A, так как отрезок AB уже есть): BC, BM, BN, BK.
3. Из точки C проведем отрезки к точкам, с которыми она еще не соединена: CM, CN, CK.
4. Из точки M: MN, MK.
5. Из точки N остался только один отрезок: NK.

Ответ: Все возможные отрезки: AB, AC, AM, AN, AK, BC, BM, BN, BK, CM, CN, CK, MN, MK, NK.

Укажите общее число этих отрезков.

Чтобы найти общее число отрезков, можно сложить количество отрезков, полученных на каждом шаге в предыдущем пункте: $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.

Другой способ — использовать комбинаторику. Каждый отрезок — это выбор двух точек из шести имеющихся. Порядок выбора точек не имеет значения (отрезок AB и отрезок BA — это один и тот же отрезок). Следовательно, необходимо вычислить число сочетаний из 6 элементов по 2.

Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашей задаче общее число точек $n=6$, а для построения отрезка мы выбираем $k=2$ точки.

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2 \times 1 \times 4!} = \frac{6 \times 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

Ответ: Общее число отрезков равно 15.