Номер 5.9, страница 15 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.9. $\angle ACB = 160^\circ$. Внутри данного угла проведен луч $CM$. Внутри углов $ACM$ и $MCB$ проведены биссектрисы. Найдите величину угла между этими биссектрисами.

По условию задачи, дан угол $\angle ACB = 160^\circ$. Внутри этого угла проведен луч $CM$, который делит его на два угла: $\angle ACM$ и $\angle MCB$. Сумма этих двух углов равна исходному углу:

$\angle ACM + \angle MCB = \angle ACB = 160^\circ$.

Пусть $CK$ — биссектриса угла $\angle ACM$. По определению биссектрисы, она делит угол на две равные части:

$\angle KCM = \frac{1}{2} \angle ACM$.

Пусть $CL$ — биссектриса угла $\angle MCB$. Аналогично, по определению биссектрисы:

$\angle MCL = \frac{1}{2} \angle MCB$.

Угол между биссектрисами $CK$ и $CL$ есть угол $\angle KCL$. Он состоит из двух прилежащих друг к другу углов $\angle KCM$ и $\angle MCL$. Следовательно, величина угла $\angle KCL$ равна их сумме:

$\angle KCL = \angle KCM + \angle MCL$.

Подставим выражения для $\angle KCM$ и $\angle MCL$:

$\angle KCL = \frac{1}{2} \angle ACM + \frac{1}{2} \angle MCB$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle KCL = \frac{1}{2} (\angle ACM + \angle MCB)$.

Так как $\angle ACM + \angle MCB = \angle ACB$, мы можем подставить это в формулу:

$\angle KCL = \frac{1}{2} \angle ACB$.

Теперь подставим известное значение $\angle ACB = 160^\circ$ и найдем искомый угол:

$\angle KCL = \frac{1}{2} \times 160^\circ = 80^\circ$.

Таким образом, величина угла между биссектрисами составляет половину от величины исходного угла $\angle ACB$.

Ответ: $80^\circ$.