Номер 4.62, страница 231 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.62. Выполните действия:

а) $(5\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{3}{16})^5;$

б) $\frac{4^7 \cdot 64}{16^4}.$

а) Чтобы выполнить умножение степеней с одинаковым показателем, воспользуемся свойством степени произведения: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Также преобразуем смешанное число $5\frac{1}{3}$ в неправильную дробь.

$(5\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{3}{16})^5 = (5\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{16})^5$

Преобразуем смешанное число: $5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$.

Подставим полученную дробь в выражение и выполним умножение в скобках:

$(\frac{16}{3} \cdot \frac{3}{16})^5 = (\frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 16})^5 = 1^5 = 1$

Ответ: 1

б) Для упрощения данного выражения представим все числа в виде степеней с одним основанием. В данном случае удобно использовать основание 4.

Знаем, что $64 = 4^3$ и $16 = 4^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{4^7 \cdot 64}{16^4} = \frac{4^7 \cdot 4^3}{(4^2)^4}$

Теперь воспользуемся свойствами степеней. В числителе применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В знаменателе применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$\frac{4^{7+3}}{4^{2 \cdot 4}} = \frac{4^{10}}{4^8}$

Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$4^{10-8} = 4^2 = 16$

Ответ: 16