Номер 4.55, страница 230 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.55. В одной системе координат постройте графики функций $y = x^3$ и $y = x$. Сравните свойства функций $y = x^3$ и $y = x$.

Построение графиков функций $y = x^3$ и $y = x$

Сначала построим оба графика в одной декартовой системе координат.

• График функции $y = x$ — это прямая линия, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Для ее построения достаточно двух точек, например, (0, 0) и (2, 2).
• График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола. Построим ее по нескольким характерным точкам:
  • при $x = -2, y = (-2)^3 = -8$
  • при $x = -1, y = (-1)^3 = -1$
  • при $x = 0, y = 0^3 = 0$
  • при $x = 1, y = 1^3 = 1$
  • при $x = 2, y = 2^3 = 8$

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $y = x^3 = x$:
$x^3 - x = 0$
$x(x^2 - 1) = 0$
$x(x-1)(x+1) = 0$
Отсюда получаем три корня: $x_1=0$, $x_2=1$, $x_3=-1$.
Точки пересечения графиков: (0, 0), (1, 1) и (-1, -1).

При построении видно, что график $y=x^3$ проходит через те же три точки, что и прямая $y=x$. На интервале $(-1, 1)$ график кубической функции "прижат" к оси абсцисс ближе, чем прямая, а за пределами этого интервала (при $|x| > 1$) он уходит к бесконечности гораздо быстрее.

Сравнение свойств функций

Сравним основные свойства данных функций.

Область определения ($D(y)$): Для обеих функций областью определения является множество всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$. В этом свойстве функции совпадают. Ответ:

Область значений ($E(y)$): Для обеих функций областью значений является множество всех действительных чисел, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$. В этом свойстве функции совпадают. Ответ:

Четность/нечетность: Обе функции являются нечетными, так как для каждой из них выполняется условие $f(-x) = -f(x)$. Их графики симметричны относительно начала координат. В этом свойстве функции совпадают. Ответ:

Нули функции: Обе функции обращаются в ноль в одной и той же точке: $y=0$ при $x=0$. В этом свойстве функции совпадают. Ответ:

Промежутки знакопостоянства: У обеих функций $y > 0$ при $x > 0$ и $y < 0$ при $x < 0$. В этом свойстве функции совпадают. Ответ:

Монотонность: Обе функции являются строго возрастающими на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$. В этом свойстве функции совпадают. Ответ:

Форма графика (выпуклость и вогнутость): В этом свойстве заключается основное различие между функциями.

• График $y = x$ — это прямая линия, она не имеет изгибов, то есть не является ни выпуклой, ни вогнутой.
• График $y = x^3$ имеет точку перегиба в начале координат. На промежутке $(-\infty, 0)$ график является выпуклым (выпуклым вверх), а на промежутке $(0, +\infty)$ — вогнутым (выпуклым вниз).

Именно это различие в форме определяет, что при $x \in (0, 1)$ график $y=x^3$ лежит ниже прямой $y=x$, а при $x > 1$ — выше. Ответ: