Номер 4.54, страница 230 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.54. Функция задана формулой $f(x) = x^3$. Найдите значение выражения:

а) $f(-3) + f(3) - f(5)$;

б) $f(2,45) + f(-2,45) + f(0)$;

в) $f(-\sqrt{7}) + f(\sqrt{7})$;

г) $f(\sqrt{2}) + f(-\sqrt{2}) + f(-1)$.

Обобщите полученные результаты. Для функции $f(x) = x^3$ найдите $f(a) + f(-a) + f(1)$, где $a$ — любое действительное число.

а) Для того чтобы найти значение выражения $f(-3) + f(3) - f(5)$, воспользуемся определением функции $f(x) = x^3$.

Функция $f(x) = x^3$ является нечетной, так как $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. Это означает, что $f(-x) + f(x) = 0$.

Следовательно, $f(-3) + f(3) = 0$.

Тогда выражение упрощается до $-f(5)$.

Вычислим значение:

$-f(5) = -(5^3) = -125$.

Ответ: -125

б) Для выражения $f(2,45) + f(-2,45) + f(0)$ используем свойство нечетности функции $f(x)=x^3$:

$f(2,45) + f(-2,45) = 0$.

Теперь вычислим $f(0)$:

$f(0) = 0^3 = 0$.

Таким образом, все выражение равно $0 + 0 = 0$.

Ответ: 0

в) В выражении $f(-\sqrt{7}) + f(\sqrt{7})$ мы снова видим сумму значений функции от противоположных аргументов. Используя свойство нечетности:

$f(-\sqrt{7}) + f(\sqrt{7}) = 0$.

Ответ: 0

г) Для выражения $f(\sqrt{2}) + f(-\sqrt{2}) + f(-1)$ снова применяем свойство нечетности:

$f(\sqrt{2}) + f(-\sqrt{2}) = 0$.

Теперь вычислим $f(-1)$:

$f(-1) = (-1)^3 = -1$.

Тогда все выражение равно $0 + (-1) = -1$.

Ответ: -1

Обобщение и вычисление $f(a) + f(-a) + f(1)$

Обобщение: Во всех предыдущих пунктах ключевым для упрощения вычислений было свойство нечетности функции $f(x)=x^3$. Это свойство заключается в том, что для любого действительного числа $x$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Как следствие, сумма $f(x) + f(-x)$ всегда равна нулю. Это и есть обобщение полученных результатов.

Вычисление выражения: Теперь найдем значение $f(a) + f(-a) + f(1)$, где $a$ — любое действительное число.

На основе свойства нечетности, $f(a) + f(-a) = 0$.

Тогда выражение принимает вид: $0 + f(1) = f(1)$.

Вычисляем $f(1)$:

$f(1) = 1^3 = 1$.

Следовательно, для любого действительного числа $a$, $f(a) + f(-a) + f(1) = 1$.

Ответ: 1