Номер 4.53, страница 230 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.53. В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их общих точек:

а) $y = x^3$ и $y = 2 - x$;

б) $y = x^3$ и $y = \frac{16}{x}$.

а) $y = x^3$ и $y = 2 - x$
Для решения задачи необходимо построить графики данных функций в одной системе координат и найти их точки пересечения.
1. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Для построения можно использовать несколько точек:

• при $x = -2$, $y = (-2)^3 = -8$
• при $x = -1$, $y = (-1)^3 = -1$
• при $x = 0$, $y = 0^3 = 0$
• при $x = 1$, $y = 1^3 = 1$
• при $x = 2$, $y = 2^3 = 8$

2. График функции $y = 2 - x$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек, например, точек пересечения с осями координат:

• при $x = 0$, $y = 2$. Точка (0, 2).
• при $y = 0$, $x = 2$. Точка (2, 0).

Построив графики, можно увидеть, что они пересекаются в одной точке. Чтобы найти ее точные координаты, решим систему уравнений, приравняв выражения для $y$:
$x^3 = 2 - x$
$x^3 + x - 2 = 0$
Это кубическое уравнение. Методом подбора можно найти целый корень среди делителей свободного члена (-2), то есть $\pm1, \pm2$.
Проверим $x=1$: $1^3 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. Корень найден.
Чтобы проверить наличие других корней, разделим многочлен $(x^3 + x - 2)$ на двучлен $(x - 1)$ и получим частное $x^2 + x + 2$.
Теперь решим уравнение $x^2 + x + 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у квадратного уравнения нет действительных корней.
Следовательно, система имеет только одно решение: $x = 1$.
Найдем соответствующий $y$, подставив $x=1$ в любую из исходных функций: $y = 1^3 = 1$.
Координаты общей точки (1, 1).
Ответ: (1, 1).

б) $y = x^3$ и $y = \frac{16}{x}$
1. График функции $y = x^3$ — кубическая парабола (см. пункт а)).
2. График функции $y = \frac{16}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Область определения: $x \neq 0$. Для построения можно использовать несколько точек:

• при $x = -4$, $y = -4$
• при $x = -2$, $y = -8$
• при $x = 2$, $y = 8$
• при $x = 4$, $y = 4$

Для нахождения точных координат общих точек приравняем выражения для $y$:
$x^3 = \frac{16}{x}$
Умножим обе части на $x$ (это возможно, так как из области определения функции $y = \frac{16}{x}$ следует, что $x \neq 0$):
$x^4 = 16$
$x^4 - 16 = 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
- Уравнение $x^2 + 4 = 0$ (или $x^2 = -4$) не имеет действительных корней.
- Уравнение $x^2 - 4 = 0$ (или $x^2 = 4$) имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня:
- Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2^3 = 8$. Точка пересечения (2, 8).
- Если $x_2 = -2$, то $y_2 = (-2)^3 = -8$. Точка пересечения (-2, -8).
Координаты общих точек (2, 8) и (-2, -8).
Ответ: (2, 8) и (-2, -8).