Номер 4.55, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.55. Как определить, является ли число 142 членом арифметической прогрессии $-18; -16.4; -14.8; ...$? Какой номер имеет член прогрессии, равный 142? Можно ли без вычислений определить, является ли членом данной прогрессии число 15?

Как определить, является ли число 142 членом арифметической прогрессии –18; –16,4; –14,8; ...? Какой номер имеет член прогрессии, равный 142?

Чтобы определить, является ли число членом арифметической прогрессии, нужно проверить, существует ли для него порядковый номер $n$, который является натуральным числом (т.е. $n \in \{1, 2, 3, ...\}$). Для этого используется формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$ , где $a_n$ – искомый член прогрессии, $a_1$ – первый член прогрессии, $d$ – разность прогрессии, а $n$ – его порядковый номер.

1. Найдем первый член и разность данной прогрессии. Первый член $a_1 = -18$. Разность $d = a_2 - a_1 = -16,4 - (-18) = -16,4 + 18 = 1,6$.

2. Подставим в формулу значение 142 в качестве $a_n$ и найдем $n$.

$142 = -18 + (n-1) \cdot 1,6$

$142 + 18 = (n-1) \cdot 1,6$

$160 = (n-1) \cdot 1,6$

$n-1 = \frac{160}{1,6}$

$n-1 = \frac{1600}{16}$

$n-1 = 100$

$n = 101$

Поскольку $n=101$ является натуральным числом, число 142 является членом данной арифметической прогрессии.
Ответ: 101.

Можно ли без вычислений определить, является ли членом данной прогрессии число 15?

Да, можно. Для этого не обязательно решать уравнение целиком. Достаточно проверить, кратна ли разность между заданным числом (15) и первым членом прогрессии ($a_1 = -18$) разности прогрессии ($d = 1,6$).

Разность между числом 15 и первым членом $a_1$ равна:
$15 - a_1 = 15 - (-18) = 33$

Теперь нужно проверить, делится ли 33 на разность прогрессии $d=1,6$ без остатка. Если да, то число 15 является членом прогрессии.

$\frac{33}{1,6} = \frac{330}{16} = \frac{165}{8} = \mathbf{20}\frac{5}{8}$

Результат деления не является целым числом. Это означает, что не существует такого целого значения $(n-1)$, при котором член прогрессии будет равен 15. Следовательно, число 15 не является членом данной прогрессии.
Ответ: да, можно определить; число 15 не является членом прогрессии.