1, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. В арифметической прогрессии ($a_n$) сумма $n$ первых членов вычисляется по формуле:

а) $S_n = (a_1 + a_n) \cdot n;$

б) $S_n = a_1 + d \cdot n;$

в) $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n;$

г) $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$

Выберите правильные ответы.

Для определения правильных формул для суммы $S_n$ первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ проанализируем каждый из предложенных вариантов.

Вспомним две основные формулы суммы арифметической прогрессии:

1. Через первый и последний члены: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
2. Через первый член и разность прогрессии $d$: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Теперь сравним предложенные варианты с этими эталонными формулами.

Данная формула неверна. В ней отсутствует деление на 2. Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии равна произведению среднего арифметического первого и последнего членов на их количество. Правильная формула имеет вид: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Ответ: неверно.

Данная формула неверна. Она не является формулой для суммы членов прогрессии. Формула для $n$-го члена прогрессии выглядит как $a_n = a_1 + d \cdot (n-1)$, что имеет некоторое сходство, но это не формула суммы. Например, для прогрессии $1, 3, 5, ...$ ($a_1=1, d=2$), сумма первых трех членов $S_3 = 1+3+5=9$. По предложенной формуле получили бы $S_3 = 1 + 2 \cdot 3 = 7$, что неверно.
Ответ: неверно.

Эта формула является верной. Это одна из двух стандартных формул для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии. Она выводится из формулы $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ подстановкой выражения для $n$-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$S_n = \frac{a_1 + (a_1 + (n-1)d)}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.
Ответ: верно.

Эта формула является верной. Это классическая формула для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии, основанная на первом и последнем членах.
Ответ: верно.

Таким образом, правильными являются формулы, представленные в пунктах в) и г).