Номер 4.106, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.106. На рисунке 93 изображен график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

а) $y = f(x - 1)$;

б) $y = f(x + 2)$;

в) $y = f(x) - 2$;

г) $y = f(x) + 3$.

Рис. 93

Для построения графиков заданных функций, необходимо выполнить преобразования (сдвиги) исходного графика функции $y = f(x)$. Для этого определим координаты нескольких характерных точек на исходном графике:

• Левая конечная точка: $(-8, 4)$
• Точка локального минимума: $(-3, -4)$
• Точка пересечения с осью OY: $(0, 1)$
• Точка локального максимума: $(2, 6)$
• Правая конечная точка: $(4, 0)$

Будем использовать следующие правила преобразования графиков:

• График функции $y = f(x - a)$ получается из графика $y = f(x)$ путем сдвига вдоль оси OX на $a$ единиц вправо, если $a > 0$, или на $|a|$ единиц влево, если $a < 0$.
• График функции $y = f(x) + b$ получается из графика $y = f(x)$ путем сдвига вдоль оси OY на $b$ единиц вверх, если $b > 0$, или на $|b|$ единиц вниз, если $b < 0$.

а) y = f(x - 1);

Чтобы построить график функции $y = f(x - 1)$, необходимо сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 1 единицу вправо вдоль оси OX. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика преобразуется в точку $(x + 1, y)$.

Выполним преобразование для характерных точек:

• $(-8, 4) \rightarrow (-8 + 1, 4) = (-7, 4)$
• $(-3, -4) \rightarrow (-3 + 1, -4) = (-2, -4)$
• $(0, 1) \rightarrow (0 + 1, 1) = (1, 1)$
• $(2, 6) \rightarrow (2 + 1, 6) = (3, 6)$
• $(4, 0) \rightarrow (4 + 1, 0) = (5, 0)$

Соединив полученные точки плавной линией, сохраняющей форму исходного графика, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = f(x - 1)$ получается путем сдвига исходного графика на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс.

б) y = f(x + 2);

Чтобы построить график функции $y = f(x + 2)$, необходимо сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 2 единицы влево вдоль оси OX. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика преобразуется в точку $(x - 2, y)$.

Выполним преобразование для характерных точек:

• $(-8, 4) \rightarrow (-8 - 2, 4) = (-10, 4)$
• $(-3, -4) \rightarrow (-3 - 2, -4) = (-5, -4)$
• $(0, 1) \rightarrow (0 - 2, 1) = (-2, 1)$
• $(2, 6) \rightarrow (2 - 2, 6) = (0, 6)$
• $(4, 0) \rightarrow (4 - 2, 0) = (2, 0)$

Соединив полученные точки плавной линией, сохраняющей форму исходного графика, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = f(x + 2)$ получается путем сдвига исходного графика на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс.

в) y = f(x) - 2;

Чтобы построить график функции $y = f(x) - 2$, необходимо сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 2 единицы вниз вдоль оси OY. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика преобразуется в точку $(x, y - 2)$.

Выполним преобразование для характерных точек:

• $(-8, 4) \rightarrow (-8, 4 - 2) = (-8, 2)$
• $(-3, -4) \rightarrow (-3, -4 - 2) = (-3, -6)$
• $(0, 1) \rightarrow (0, 1 - 2) = (0, -1)$
• $(2, 6) \rightarrow (2, 6 - 2) = (2, 4)$
• $(4, 0) \rightarrow (4, 0 - 2) = (4, -2)$

Соединив полученные точки плавной линией, сохраняющей форму исходного графика, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = f(x) - 2$ получается путем сдвига исходного графика на 2 единицы вниз вдоль оси ординат.

г) y = f(x) + 3;

Чтобы построить график функции $y = f(x) + 3$, необходимо сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 3 единицы вверх вдоль оси OY. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика преобразуется в точку $(x, y + 3)$.

Выполним преобразование для характерных точек:

• $(-8, 4) \rightarrow (-8, 4 + 3) = (-8, 7)$
• $(-3, -4) \rightarrow (-3, -4 + 3) = (-3, -1)$
• $(0, 1) \rightarrow (0, 1 + 3) = (0, 4)$
• $(2, 6) \rightarrow (2, 6 + 3) = (2, 9)$
• $(4, 0) \rightarrow (4, 0 + 3) = (4, 3)$

Соединив полученные точки плавной линией, сохраняющей форму исходного графика, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = f(x) + 3$ получается путем сдвига исходного графика на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.