Номер 4.102, страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.102*. В арифметической прогрессии третий и десятый члены соответственно равны 12 и -2. Найдите сумму второго и одиннадцатого членов прогрессии.

Обозначим члены арифметической прогрессии как $a_n$, где $n$ - номер члена, $a_1$ - первый член, и $d$ - разность прогрессии.

По условию задачи нам даны:

• Третий член прогрессии: $a_3 = 12$
• Десятый член прогрессии: $a_{10} = -2$

Необходимо найти сумму второго и одиннадцатого членов: $a_2 + a_{11}$.

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование свойства арифметической прогрессии

Основное свойство арифметической прогрессии гласит, что если суммы индексов двух пар членов равны, то равны и суммы этих членов. То есть, если для номеров членов $k, l, m, p$ выполняется равенство $k + l = m + p$, то для самих членов также будет выполняться равенство $a_k + a_l = a_m + a_p$.

В нашем случае мы ищем сумму $a_2 + a_{11}$. Сумма индексов равна $2 + 11 = 13$.

Нам известны члены $a_3$ и $a_{10}$. Сумма их индексов равна $3 + 10 = 13$.

Так как суммы индексов совпадают ($2 + 11 = 3 + 10$), то будут равны и суммы соответствующих членов:

$a_2 + a_{11} = a_3 + a_{10}$

Подставим известные значения:

$a_2 + a_{11} = 12 + (-2) = 10$

Этот способ является наиболее быстрым и элегантным.

Способ 2: Нахождение первого члена и разности прогрессии

Этот способ более длинный, но также приводит к верному результату. Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Составим систему уравнений на основе известных данных:

$\begin{cases}a_3 = a_1 + (3-1)d = 12 \\a_{10} = a_1 + (10-1)d = -2\end{cases}$

Получаем систему:

$\begin{cases}a_1 + 2d = 12 \\a_1 + 9d = -2\end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти разность прогрессии $d$:

$(a_1 + 9d) - (a_1 + 2d) = -2 - 12$

$7d = -14$

$d = -2$

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив значение $d = -2$ в первое уравнение:

$a_1 + 2(-2) = 12$

$a_1 - 4 = 12$

$a_1 = 16$

Зная $a_1 = 16$ и $d = -2$, мы можем найти второй и одиннадцатый члены прогрессии:

$a_2 = a_1 + (2-1)d = 16 + 1 \cdot (-2) = 16 - 2 = 14$

$a_{11} = a_1 + (11-1)d = 16 + 10 \cdot (-2) = 16 - 20 = -4$

Наконец, найдем их сумму:

$a_2 + a_{11} = 14 + (-4) = 10$

Оба способа приводят к одному и тому же ответу.

Сумма второго и одиннадцатого членов прогрессии Ответ: 10