Номер 4.99, страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.99. Воспользуйтесь характеристическим свойством арифметической прогрессии и найдите, при каком значении переменной значения выражений $9 - 4x$; $2x + 5$ и $3x - 1$ будут являться последовательными членами арифметической прогрессии.

Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Для трёх последовательных членов арифметической прогрессии $a_1$, $a_2$ и $a_3$ это свойство записывается в виде формулы:

$$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$$

Это равенство можно также записать как:

$$2a_2 = a_1 + a_3$$

В условии задачи даны три выражения, которые являются последовательными членами арифметической прогрессии:

• $a_1 = 9 - 4x$
• $a_2 = 2x + 5$
• $a_3 = 3x - 1$

Чтобы найти значение переменной $x$, при котором эти выражения образуют арифметическую прогрессию, подставим их в формулу характеристического свойства:

$$2 \cdot (2x + 5) = (9 - 4x) + (3x - 1)$$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Сначала раскроем скобки:

$$4x + 10 = 9 - 4x + 3x - 1$$

Затем приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:

$$4x + 10 = (9 - 1) + (-4x + 3x)$$

$$4x + 10 = 8 - x$$

Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а постоянные члены — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$$4x + x = 8 - 10$$

Выполним сложение и вычитание:

$$5x = -2$$

Наконец, найдем $x$, разделив обе части уравнения на 5:

$$x = -\frac{2}{5}$$

Ответ: при $x = -\frac{2}{5}$.