Номер 4.103, страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.103*. Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$. Определите, является ли арифметической прогрессией последовательность $-a_1; -a_3; -a_5; \dots$.

Пусть $(a_n)$ — заданная арифметическая прогрессия, где $a_1$ — её первый член, а $d$ — её разность. Формула для $n$-го члена этой прогрессии имеет вид:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Рассмотрим новую последовательность, обозначим её $(b_k)$. Её члены: $b_1 = -a_1$, $b_2 = -a_3$, $b_3 = -a_5$, и так далее. Общий член этой последовательности можно записать в виде $b_k = -a_{2k-1}$.

Чтобы определить, является ли последовательность $(b_k)$ арифметической прогрессией, необходимо проверить, является ли разность между её соседними членами постоянной величиной. Найдем эту разность, обозначив её $d'$:

$d' = b_{k+1} - b_k$

Выразим члены $b_{k+1}$ и $b_k$ через члены исходной прогрессии $(a_n)$:

$b_k = -a_{2k-1}$

$b_{k+1} = -a_{2(k+1)-1} = -a_{2k+1}$

Теперь найдем разность $d'$:

$d' = (-a_{2k+1}) - (-a_{2k-1}) = a_{2k-1} - a_{2k+1}$

Воспользуемся формулой $n$-го члена для $a_{2k-1}$ и $a_{2k+1}$:

$a_{2k-1} = a_1 + ((2k-1)-1)d = a_1 + (2k-2)d$

$a_{2k+1} = a_1 + ((2k+1)-1)d = a_1 + 2kd$

Подставим полученные выражения в формулу для $d'$:

$d' = (a_1 + (2k-2)d) - (a_1 + 2kd)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$d' = a_1 + 2kd - 2d - a_1 - 2kd = -2d$

Разность $d'$ оказалась равной $-2d$. Так как $d$ (разность исходной прогрессии) является константой, то и величина $-2d$ также является константой и не зависит от номера члена $k$.

Определите, является ли арифметической прогрессией последовательность $-a_1; -a_3; -a_5; \dots$: Так как разность между любыми двумя последовательными членами данной последовательности постоянна и равна $-2d$, то эта последовательность является арифметической прогрессией. Ответ: да.