Номер 4.97, страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.97. Между числами $-3\sqrt{5}$ и $9\sqrt{5}$ вставьте шесть таких чисел, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию. Какой номер будет иметь число $9\sqrt{5}$? Чему равна разность этой арифметической прогрессии?

По условию задачи нам необходимо вставить шесть чисел между $-3\sqrt{5}$ и $9\sqrt{5}$ так, чтобы все восемь чисел образовывали арифметическую прогрессию. Обозначим члены этой прогрессии как $a_n$.

Таким образом, первый член прогрессии $a_1 = -3\sqrt{5}$.

Поскольку мы вставляем 6 чисел, общее количество членов в прогрессии становится $1 + 6 + 1 = 8$. Следовательно, число $9\sqrt{5}$ является восьмым членом прогрессии, то есть $a_8 = 9\sqrt{5}$.

Для нахождения разности арифметической прогрессии ($d$) воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные нам значения для $n=8$:

$a_8 = a_1 + (8-1)d$

$9\sqrt{5} = -3\sqrt{5} + 7d$

Теперь решим это уравнение относительно $d$:

$7d = 9\sqrt{5} + 3\sqrt{5}$

$7d = 12\sqrt{5}$

$d = \frac{12\sqrt{5}}{7}$

Теперь, зная первый член и разность, мы можем найти шесть искомых чисел (члены прогрессии с $a_2$ по $a_7$):

• $a_2 = a_1 + d = -3\sqrt{5} + \frac{12\sqrt{5}}{7} = \frac{-21\sqrt{5} + 12\sqrt{5}}{7} = -\frac{9\sqrt{5}}{7}$
• $a_3 = a_2 + d = -\frac{9\sqrt{5}}{7} + \frac{12\sqrt{5}}{7} = \frac{3\sqrt{5}}{7}$
• $a_4 = a_3 + d = \frac{3\sqrt{5}}{7} + \frac{12\sqrt{5}}{7} = \frac{15\sqrt{5}}{7}$
• $a_5 = a_4 + d = \frac{15\sqrt{5}}{7} + \frac{12\sqrt{5}}{7} = \frac{27\sqrt{5}}{7}$
• $a_6 = a_5 + d = \frac{27\sqrt{5}}{7} + \frac{12\sqrt{5}}{7} = \frac{39\sqrt{5}}{7}$
• $a_7 = a_6 + d = \frac{39\sqrt{5}}{7} + \frac{12\sqrt{5}}{7} = \frac{51\sqrt{5}}{7}$

Теперь предоставим ответы на вопросы из задачи в требуемом формате.

Между числами $-3\sqrt{5}$ и $9\sqrt{5}$ вставьте шесть таких чисел, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию.
Ответ: $-\mathbf{1}\frac{2}{7}\sqrt{5}; \quad \frac{3\sqrt{5}}{7}; \quad \mathbf{2}\frac{1}{7}\sqrt{5}; \quad \mathbf{3}\frac{6}{7}\sqrt{5}; \quad \mathbf{5}\frac{4}{7}\sqrt{5}; \quad \mathbf{7}\frac{2}{7}\sqrt{5}$.

Какой номер будет иметь число $9\sqrt{5}$?
Ответ: 8.

Чему равна разность этой арифметической прогрессии?
Ответ: $\mathbf{1}\frac{5}{7}\sqrt{5}$.