Номер 231, страница 54 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Время прохождения первого вагона: $t_1 = 4,0 \text{ с}$
Время прохождения всего поезда: $t_2 = 16,0 \text{ с}$
Начальная скорость поезда: $v_0 = 0 \text{ м/с}$

Найти:

Число вагонов в поезде: $N$ - ?
Время прохождения последнего вагона: $\Delta t_{посл}$ - ?

Решение:

Согласно условию, поезд начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$) и движется равноускоренно. Путь, пройденный точкой на поезде (например, его началом) за время $t$, определяется по формуле: $S = v_0 t + \frac{at^2}{2} = \frac{at^2}{2}$, где $a$ — ускорение поезда.

Сколько вагонов у поезда, если все они имеют одинаковую длину?

Пусть $L$ — это длина одного вагона, а $N$ — общее количество вагонов в поезде.
Первый вагон прошел мимо неподвижного пассажира за время $t_1$. Это означает, что за время $t_1$ начало поезда прошло расстояние, равное длине одного вагона $L$.
$L = \frac{at_1^2}{2}$ (1)
Весь поезд, имеющий общую длину $S_{общ} = N \cdot L$, прошел мимо пассажира за время $t_2$.
$N \cdot L = \frac{at_2^2}{2}$ (2)
Для нахождения числа вагонов $N$ разделим уравнение (2) на уравнение (1):
$\frac{N \cdot L}{L} = \frac{\frac{at_2^2}{2}}{\frac{at_1^2}{2}}$
После сокращения общих множителей ($L$, $a$, 2) получаем:
$N = \frac{t_2^2}{t_1^2} = \left(\frac{t_2}{t_1}\right)^2$
Подставим в формулу числовые значения из условия:
$N = \left(\frac{16,0}{4,0}\right)^2 = 4^2 = 16$

Ответ: В поезде 16 вагонов.

За какое время прошел мимо пассажира последний вагон?

Время прохождения последнего, 16-го, вагона ($\Delta t_{посл}$) можно найти как разность между временем прохождения всего поезда из 16 вагонов ($t_2 = t_{16}$) и временем прохождения первых 15 вагонов ($t_{15}$).
Найдем время $t_{N-1}$, за которое мимо пассажира проходит поезд из $N-1$ вагонов. Длина такой части поезда составляет $(N-1)L$.
$(N-1)L = \frac{at_{N-1}^2}{2}$ (3)
Снова разделим это уравнение на уравнение (1):
$\frac{(N-1)L}{L} = \frac{\frac{at_{N-1}^2}{2}}{\frac{at_1^2}{2}}$
$N-1 = \frac{t_{N-1}^2}{t_1^2}$
Отсюда можно выразить время прохождения $N-1$ вагонов:
$t_{N-1} = t_1 \sqrt{N-1}$
Мы знаем, что $N=16$ и $t_1=4,0$ с. Найдем время прохождения 15 вагонов:
$t_{15} = 4,0 \cdot \sqrt{16-1} = 4,0 \cdot \sqrt{15} \approx 4,0 \cdot 3,873 \approx 15,492 \text{ с}$
Теперь найдем искомое время прохождения последнего вагона:
$\Delta t_{посл} = t_{16} - t_{15} = t_2 - t_{15}$
$\Delta t_{посл} = 16,0 \text{ с} - 15,492 \text{ с} \approx 0,508 \text{ с}$
Исходные данные представлены с двумя и тремя значащими цифрами. Округлим результат до двух значащих цифр.
$\Delta t_{посл} \approx 0,51 \text{ с}$

Ответ: Последний вагон прошел мимо пассажира примерно за $0,51$ с.