Номер 235, страница 55 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$l = 30 \text{ см} = 0,3 \text{ м}$

$t_1 = 1,0 \text{ с}$

$t_2 = 2,0 \text{ с}$

Найти:

$v_0 - ?, a - ?$

Решение:

Движение шарика по наклонной доске является равноускоренным. Зависимость координаты шарика от времени описывается уравнением:

$x(t) = x_0 + v_{0}t + \frac{at^2}{2}$

Выберем систему отсчета так, чтобы начало координат $x_0 = 0$ совпадало с точкой начала движения, а ось $Ox$ была направлена вверх по наклонной доске. Тогда начальная скорость $v_0$ будет положительной, а ускорение $a$ — отрицательным, так как оно направлено в противоположную сторону (вниз по доске).

В моменты времени $t_1$ и $t_2$ шарик находится в одной и той же точке с координатой $x = l$. Это означает, что $t_1$ и $t_2$ являются корнями квадратного уравнения относительно времени $t$:

$l = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Перепишем это уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $At^2 + Bt + C = 0$:

$\frac{a}{2}t^2 + v_0 t - l = 0$

Для этого уравнения можно применить теорему Виета, согласно которой сумма и произведение корней ($t_1$ и $t_2$) связаны с коэффициентами уравнения следующим образом:

$t_1 + t_2 = -\frac{v_0}{a/2} = -\frac{2v_0}{a}$

$t_1 \cdot t_2 = \frac{-l}{a/2} = -\frac{2l}{a}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $v_0$ и $a$.

Из второго уравнения выразим ускорение $a$:

$a = -\frac{2l}{t_1 t_2}$

Подставим числовые значения:

$a = -\frac{2 \cdot 0,3 \text{ м}}{1,0 \text{ с} \cdot 2,0 \text{ с}} = -\frac{0,6}{2,0} \text{ м/с}^2 = -0,3 \text{ м/с}^2$

Знак минус указывает на то, что ускорение направлено против начальной скорости. Модуль ускорения равен $|a| = 0,3 \text{ м/с}^2$.

Теперь из первого уравнения теоремы Виета выразим начальную скорость $v_0$:

$v_0 = -\frac{a(t_1 + t_2)}{2}$

Подставим значения $a$, $t_1$ и $t_2$:

$v_0 = -\frac{(-0,3 \text{ м/с}^2)(1,0 \text{ с} + 2,0 \text{ с})}{2} = \frac{0,3 \cdot 3,0}{2} \text{ м/с} = \frac{0,9}{2} \text{ м/с} = 0,45 \text{ м/с}$

Модуль начальной скорости равен $v_0 = 0,45 \text{ м/с}$.

Ответ: модуль начальной скорости $v_0 = 0,45 \text{ м/с}$, модуль ускорения $a = 0,3 \text{ м/с}^2$.