Номер 241, страница 56 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Скорость на первой половине пути: $v_1 = 36 \frac{км}{ч}$

Конечная скорость: $v_2 = 20 \frac{м}{с}$

Первая половина пути: $S_1 = S/2$

Вторая половина пути: $S_2 = S/2$

Перевод в систему СИ:

$v_1 = 36 \frac{км}{ч} = 36 \cdot \frac{1000 \ м}{3600 \ с} = 10 \frac{м}{с}$

$v_2 = 20 \frac{м}{с}$ (уже в СИ)

Найти:

Средняя скорость на всем пути: $v_{ср}$

Решение:

Средняя скорость вычисляется по формуле как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Пусть весь путь равен $S$. Тогда первая и вторая половины пути равны $S/2$.

$S_{общ} = S$

Общее время движения $t_{общ}$ равно сумме времени движения на первом участке $t_1$ и на втором участке $t_2$.

$t_{общ} = t_1 + t_2$

На первом участке (первая половина пути $S/2$) автомобиль двигался равномерно со скоростью $v_1$. Время движения на этом участке:

$t_1 = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$

На втором участке (вторая половина пути $S/2$) автомобиль двигался равноускоренно. Начальная скорость на этом участке равна $v_1$, а конечная — $v_2$. Путь при равноускоренном движении можно найти по формуле:

$\frac{S}{2} = \frac{v_1 + v_2}{2} \cdot t_2$

Из этой формулы выразим время движения на втором участке $t_2$:

$S = (v_1 + v_2) \cdot t_2 \implies t_2 = \frac{S}{v_1 + v_2}$

Теперь найдем общее время движения:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{v_1 + v_2}$

Вынесем общий множитель $S$ за скобки:

$t_{общ} = S \left( \frac{1}{2v_1} + \frac{1}{v_1 + v_2} \right)$

Подставим выражения для $S_{общ}$ и $t_{общ}$ в формулу средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S}{S \left( \frac{1}{2v_1} + \frac{1}{v_1 + v_2} \right)} = \frac{1}{\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{v_1 + v_2}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $2v_1(v_1 + v_2)$:

$\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{v_1 + v_2} = \frac{v_1 + v_2 + 2v_1}{2v_1(v_1 + v_2)} = \frac{3v_1 + v_2}{2v_1(v_1 + v_2)}$

Подставим это выражение обратно в формулу для средней скорости:

$v_{ср} = \frac{1}{\frac{3v_1 + v_2}{2v_1(v_1 + v_2)}} = \frac{2v_1(v_1 + v_2)}{3v_1 + v_2}$

Теперь подставим числовые значения из системы СИ:

$v_1 = 10 \frac{м}{с}$

$v_2 = 20 \frac{м}{с}$

$v_{ср} = \frac{2 \cdot 10 \cdot (10 + 20)}{3 \cdot 10 + 20} = \frac{20 \cdot 30}{30 + 20} = \frac{600}{50} = 12 \frac{м}{с}$

Ответ: средняя скорость грузового автомобиля на всем пути равна $12 \frac{м}{с}$.