Номер 243, страница 56 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$t_1 = 28$ c

$\epsilon = 4 \% = 0.04$

$v_0 = 0$ м/с

Найти:

$t_2$ - время, через которое шайба вернется в исходное положение после изменения ускорения.

Решение:

Разобьем движение шайбы на два этапа. В качестве начала отсчета ($x=0$) выберем исходное положение шайбы, а положительное направление оси Ox совпадает с начальным направлением движения.

Этап 1: Движение с начальным ускорением (от $t=0$ до $t=t_1$).
Шайба движется из состояния покоя ($v_0 = 0$) с постоянным ускорением $a_1$.
Координата шайбы в конце первого этапа:
$x_1 = v_0 t_1 + \frac{a_1 t_1^2}{2} = \frac{a_1 t_1^2}{2}$
Скорость шайбы в этот момент:
$v_1 = v_0 + a_1 t_1 = a_1 t_1$

Этап 2: Движение с измененным ускорением (после $t=t_1$).
На этом этапе ускорение шайбы меняет направление на противоположное и уменьшается по модулю. Новое ускорение $a_2$ равно:
$a_2 = -a_1(1 - \epsilon)$
Движение на втором этапе начинается из точки с координатой $x_1$ и с начальной скоростью $v_1$. Пусть $t_2$ — это время, которое требуется шайбе, чтобы вернуться в исходное положение ($x=0$).
Запишем уравнение движения для второго этапа:
$x(t_2) = x_1 + v_1 t_2 + \frac{a_2 t_2^2}{2}$
По условию, в конце второго этапа шайба возвращается в исходное положение, то есть $x(t_2) = 0$. Подставим выражения для $x_1$, $v_1$ и $a_2$:
$0 = \frac{a_1 t_1^2}{2} + (a_1 t_1) t_2 + \frac{-a_1(1 - \epsilon) t_2^2}{2}$

Поскольку ускорение $a_1$ не равно нулю, мы можем сократить на него все члены уравнения. Также умножим уравнение на 2:
$0 = t_1^2 + 2 t_1 t_2 - (1 - \epsilon) t_2^2$
Мы получили квадратное уравнение относительно искомого времени $t_2$:
$(1 - \epsilon) t_2^2 - 2t_1 t_2 - t_1^2 = 0$

Решим это уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения $t_2 = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$, где $A = (1-\epsilon)$, $B = -2t_1$, $C = -t_1^2$:
$t_2 = \frac{2t_1 \pm \sqrt{(-2t_1)^2 - 4(1 - \epsilon)(-t_1^2)}}{2(1 - \epsilon)}$
$t_2 = \frac{2t_1 \pm \sqrt{4t_1^2 + 4t_1^2(1 - \epsilon)}}{2(1 - \epsilon)}$
$t_2 = \frac{2t_1 \pm \sqrt{4t_1^2(1 + 1 - \epsilon)}}{2(1 - \epsilon)}$
$t_2 = \frac{2t_1 \pm 2t_1\sqrt{2 - \epsilon}}{2(1 - \epsilon)} = \frac{t_1(1 \pm \sqrt{2 - \epsilon})}{1 - \epsilon}$

Так как время $t_2$ не может быть отрицательным, а выражение $1 - \sqrt{2 - \epsilon}$ отрицательно (поскольку $\epsilon$ мало и $\sqrt{2 - \epsilon} > 1$), мы должны выбрать корень со знаком "плюс":
$t_2 = \frac{t_1(1 + \sqrt{2 - \epsilon})}{1 - \epsilon}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:
$t_1 = 28$ c, $\epsilon = 0.04$.
$t_2 = \frac{28 \cdot (1 + \sqrt{2 - 0.04})}{1 - 0.04} = \frac{28 \cdot (1 + \sqrt{1.96})}{0.96}$
$t_2 = \frac{28 \cdot (1 + 1.4)}{0.96} = \frac{28 \cdot 2.4}{0.96}$
$t_2 = 28 \cdot 2.5 = 70$ c.

Ответ: 70 с.