Номер 1077, страница 198 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Напряжение сети $U = 220$ В.

Номинальное напряжение каждой из двух ламп $U_{ном} = 110$ В.

Найти:

Возможность включения ламп в сеть последовательно.

Напряжения на лампах $U_1$ и $U_2$ для двух случаев.

Решение:

При последовательном соединении двух потребителей (ламп) общее напряжение сети $U$ распределяется между ними пропорционально их сопротивлениям. Общий ток $I$, протекающий через обе лампы, одинаков. Напряжение на каждой лампе находится по закону Ома: $U_1 = I \cdot R_1$ и $U_2 = I \cdot R_2$. Общее напряжение равно сумме напряжений на лампах: $U = U_1 + U_2$.

Сопротивление каждой лампы можно определить из её номинальных (паспортных) значений мощности $P_{ном}$ и напряжения $U_{ном}$ по формуле $P_{ном} = \frac{U_{ном}^2}{R}$, откуда $R = \frac{U_{ном}^2}{P_{ном}}$.

а) Лампы имеют одинаковую мощность

Если номинальные мощности ламп одинаковы ($P_{ном1} = P_{ном2}$), то при одинаковом номинальном напряжении ($U_{ном} = 110$ В) их сопротивления также будут одинаковы:

$R_1 = R_2 = R = \frac{U_{ном}^2}{P_{ном}}$

При последовательном подключении к сети с напряжением $U=220$ В, общее сопротивление цепи составит $R_{общ} = R_1 + R_2 = 2R$.

Ток, протекающий через цепь: $I = \frac{U}{R_{общ}} = \frac{220 \text{ В}}{2R} = \frac{110 \text{ В}}{R}$.

Напряжение на каждой из ламп будет:

$U_1 = I \cdot R_1 = \frac{110 \text{ В}}{R} \cdot R = 110$ В

$U_2 = I \cdot R_2 = \frac{110 \text{ В}}{R} \cdot R = 110$ В

Так как напряжение на каждой лампе равно её номинальному значению (110 В), обе лампы будут работать в штатном режиме. Следовательно, такое подключение возможно.

Ответ: Да, можно. Напряжение на каждой лампе будет равно её номинальному напряжению: $U_1 = 110$ В и $U_2 = 110$ В.

б) Лампы имеют разную мощность

Если номинальные мощности ламп различны ($P_{ном1} \neq P_{ном2}$), то их сопротивления также будут различны:

$R_1 = \frac{U_{ном}^2}{P_{ном1}}$ и $R_2 = \frac{U_{ном}^2}{P_{ном2}}$.

Поскольку $P_{ном1} \neq P_{ном2}$, то и $R_1 \neq R_2$. Лампа с меньшей номинальной мощностью будет иметь большее сопротивление.

При последовательном соединении ток через обе лампы одинаков, а напряжение распределяется пропорционально сопротивлениям:

$I = \frac{U}{R_1 + R_2} = \frac{220 \text{ В}}{R_1 + R_2}$

$U_1 = I \cdot R_1 = 220 \text{ В} \cdot \frac{R_1}{R_1+R_2}$

$U_2 = I \cdot R_2 = 220 \text{ В} \cdot \frac{R_2}{R_1+R_2}$

Так как $R_1 \neq R_2$, напряжение на лампах не будет одинаковым и не будет равно 110 В. На лампе с большим сопротивлением (т.е. с меньшей мощностью) падение напряжения будет больше 110 В, а на лампе с меньшим сопротивлением (с большей мощностью) — меньше 110 В. Лампа, на которой напряжение превысит номинальные 110 В, будет работать с перегрузкой и быстро перегорит. Вторая лампа будет гореть очень тускло или не загорится вовсе. Поэтому такое включение недопустимо.

Ответ: Нет, нельзя. Напряжения на лампах будут разными: $U_1 = 220 \cdot \frac{R_1}{R_1+R_2}$ и $U_2 = 220 \cdot \frac{R_2}{R_1+R_2}$. На лампе с меньшей мощностью (большим сопротивлением) напряжение будет больше 110 В, а на лампе с большей мощностью — меньше 110 В, что приведет к перегоранию первой.