Номер 1083, страница 199 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Сопротивление первого резистора: $R$

Внутреннее сопротивление батареи: $r$

Сопротивление второго резистора: $R_x$

Условие: мощность во внешней цепи $P$ не изменяется при параллельном подключении $R_x$ к $R$.

Найти:

$R_x$ — ?

Решение:

Рассмотрим два состояния электрической цепи.

1. В начальном состоянии к батарее с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$ подключен только резистор с сопротивлением $R$. Внешнее сопротивление цепи в этом случае $R_{вн1} = R$.

Сила тока в цепи, согласно закону Ома для полной цепи, равна:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$

Мощность, выделяемая во внешней цепи, определяется по формуле $P = I^2 R_{вн}$:

$P_1 = I_1^2 R = \left(\frac{\mathcal{E}}{R + r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R + r)^2}$

2. В конечном состоянии к резистору $R$ параллельно подключают резистор с неизвестным сопротивлением $R_x$.

Эквивалентное сопротивление внешнего участка цепи в этом случае равно:

$R_{вн2} = \frac{R \cdot R_x}{R + R_x}$

Мощность, выделяемая во внешней цепи, будет равна:

$P_2 = \frac{\mathcal{E}^2 R_{вн2}}{(R_{вн2} + r)^2} = \frac{\mathcal{E}^2 \frac{R R_x}{R + R_x}}{\left(\frac{R R_x}{R + R_x} + r\right)^2}$

По условию задачи, мощность, потребляемая внешним участком цепи, не изменяется, то есть $P_1 = P_2$.

$\frac{\mathcal{E}^2 R}{(R + r)^2} = \frac{\mathcal{E}^2 R_{вн2}}{(R_{вн2} + r)^2}$

Сократим на $\mathcal{E}^2$ (так как ЭДС не равна нулю):

$\frac{R}{(R + r)^2} = \frac{R_{вн2}}{(R_{вн2} + r)^2}$

Это равенство можно рассматривать как уравнение для внешнего сопротивления $R_{вн}$. Зависимость мощности от внешнего сопротивления $P(R_{вн}) = \frac{\mathcal{E}^2 R_{вн}}{(R_{вн} + r)^2}$ такова, что одному и тому же значению мощности (кроме максимального) соответствуют два разных значения внешнего сопротивления.

Преобразуем это уравнение в квадратное относительно $R_{вн}$:

$P(R_{вн} + r)^2 = \mathcal{E}^2 R_{вн}$

$P(R_{вн}^2 + 2rR_{вн} + r^2) = \mathcal{E}^2 R_{вн}$

$P R_{вн}^2 + (2Pr - \mathcal{E}^2)R_{вн} + P r^2 = 0$

Согласно теореме Виета, произведение корней этого квадратного уравнения $R_{вн1}$ и $R_{вн2}$ равно отношению свободного члена к коэффициенту при старшей степени:

$R_{вн1} \cdot R_{вн2} = \frac{P r^2}{P} = r^2$

В нашей задаче корнями являются $R_{вн1} = R$ и $R_{вн2} = \frac{R R_x}{R + R_x}$.

Подставим эти выражения в полученное соотношение:

$R \cdot \left(\frac{R R_x}{R + R_x}\right) = r^2$

$\frac{R^2 R_x}{R + R_x} = r^2$

Теперь выразим искомое сопротивление $R_x$ из этого уравнения:

$R^2 R_x = r^2(R + R_x)$

$R^2 R_x = r^2 R + r^2 R_x$

$R^2 R_x - r^2 R_x = r^2 R$

$R_x (R^2 - r^2) = r^2 R$

$R_x = \frac{r^2 R}{R^2 - r^2}$

Ответ: неизвестное сопротивление резистора $R_x = \frac{r^2 R}{R^2 - r^2}$.