Номер 1087, страница 200 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Сила тока в нагрузке $I_1 = 5,0$ А

Потребляемая мощность $P_1 = 9,5$ Вт

Сила тока в нагрузке $I_2 = 8,0$ А

Потребляемая мощность $P_2 = 14$ Вт

Найти:

Силу тока короткого замыкания $I_{к.з.}$

Решение:

Запишем закон Ома для полной цепи, в которой есть источник с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$, а также внешняя нагрузка с сопротивлением $R$:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Напряжение на клеммах аккумулятора (на нагрузке) равно $U = \mathcal{E} - Ir$.

Мощность, потребляемая нагрузкой, определяется формулой $P = IU$. Отсюда можно выразить напряжение на нагрузке: $U = \frac{P}{I}$.

Приравняем два выражения для напряжения:

$\frac{P}{I} = \mathcal{E} - Ir$

Выразим ЭДС источника:

$\mathcal{E} = \frac{P}{I} + Ir$

Поскольку ЭДС $\mathcal{E}$ и внутреннее сопротивление $r$ аккумулятора являются его постоянными характеристиками, мы можем составить систему из двух уравнений для двух заданных режимов работы:

1. Для первого случая: $\mathcal{E} = \frac{P_1}{I_1} + I_1 r$

2. Для второго случая: $\mathcal{E} = \frac{P_2}{I_2} + I_2 r$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны:

$\frac{P_1}{I_1} + I_1 r = \frac{P_2}{I_2} + I_2 r$

Сгруппируем члены с $r$:

$I_1 r - I_2 r = \frac{P_2}{I_2} - \frac{P_1}{I_1}$

$r(I_1 - I_2) = \frac{P_2 I_1 - P_1 I_2}{I_1 I_2}$

Отсюда найдем внутреннее сопротивление $r$:

$r = \frac{P_2 I_1 - P_1 I_2}{I_1 I_2 (I_1 - I_2)}$

Подставим числовые значения:

$r = \frac{14 \cdot 5,0 - 9,5 \cdot 8,0}{5,0 \cdot 8,0 \cdot (5,0 - 8,0)} = \frac{70 - 76}{40 \cdot (-3)} = \frac{-6}{-120} = 0,05$ Ом

Теперь найдем ЭДС аккумулятора, подставив значение $r$ в первое уравнение:

$\mathcal{E} = \frac{P_1}{I_1} + I_1 r = \frac{9,5}{5,0} + 5,0 \cdot 0,05 = 1,9 + 0,25 = 2,15$ В

Сила тока короткого замыкания возникает, когда внешнее сопротивление $R=0$. По закону Ома для полной цепи, ток короткого замыкания равен:

$I_{к.з.} = \frac{\mathcal{E}}{r}$

Вычислим его значение:

$I_{к.з.} = \frac{2,15}{0,05} = 43$ А

Ответ: $I_{к.з.} = 43$ А.