Номер 1091, страница 200 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

График зависимости мощности тока $P$ на внешнем участке цепи от силы тока $I$.

Из графика для пункта а):

$P = 16 \text{ Вт}$

$I_1 = 1.0 \text{ А}$

$I_2 = 3.0 \text{ А}$

Из графика для пункта б):

$I_{кз} = 4.0 \text{ А}$ (ток при $P=0$)

Найти:

a) $R$ - ?

б) $ℰ$ - ?

Решение:

a) сопротивление нагрузки R, если мощность на нагрузке P = 16 Вт

Мощность тока $P$, выделяемая на внешней нагрузке с сопротивлением $R$, определяется по формуле Джоуля-Ленца:

$P = I^2 R$

Из этой формулы выразим сопротивление нагрузки $R$:

$R = \frac{P}{I^2}$

По графику находим, что значению мощности $P = 16 \text{ Вт}$ соответствуют два значения силы тока: $I_1 = 1.0 \text{ А}$ и $I_2 = 3.0 \text{ А}$. Это означает, что данная мощность может выделяться на двух разных сопротивлениях.

1. Для силы тока $I_1 = 1.0 \text{ А}$ сопротивление нагрузки равно:

$R_1 = \frac{16 \text{ Вт}}{(1.0 \text{ А})^2} = 16 \text{ Ом}$

2. Для силы тока $I_2 = 3.0 \text{ А}$ сопротивление нагрузки равно:

$R_2 = \frac{16 \text{ Вт}}{(3.0 \text{ А})^2} = \frac{16}{9} \text{ Ом} \approx 1.78 \text{ Ом}$

Ответ: $16 \text{ Ом}$ или $\approx 1.78 \text{ Ом}$.

б) ЭДС ℰ источника тока

Мощность, выделяемая на внешнем участке цепи, также может быть выражена через ЭДС источника $ℰ$ и его внутреннее сопротивление $r$. По закону Ома для полной цепи сила тока $I = \frac{ℰ}{R+r}$. Напряжение на внешней нагрузке $U = I R$, и оно же равно $U = ℰ - Ir$. Тогда формула для мощности принимает вид:

$P = U I = (ℰ - Ir)I = ℰI - rI^2$

Это уравнение параболы, что соответствует приведенному графику. Для нахождения неизвестных $ℰ$ и $r$ составим систему уравнений, используя две точки с графика, найденные в предыдущем пункте:

Точка 1: $I_1 = 1.0 \text{ А}$, $P_1 = 16 \text{ Вт}$

Точка 2: $I_2 = 3.0 \text{ А}$, $P_2 = 16 \text{ Вт}$

Подставляя эти значения в формулу мощности, получаем систему:

$\begin{cases} 16 = ℰ \cdot 1.0 - r \cdot (1.0)^2 \\ 16 = ℰ \cdot 3.0 - r \cdot (3.0)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} 16 = ℰ - r \\ 16 = 3ℰ - 9r \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $ℰ$: $ℰ = 16 + r$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$16 = 3(16 + r) - 9r$

$16 = 48 + 3r - 9r$

$16 = 48 - 6r$

$6r = 48 - 16$

$6r = 32$

$r = \frac{32}{6} = \frac{16}{3} \text{ Ом} \approx 5.33 \text{ Ом}$

Теперь можем найти ЭДС:

$ℰ = 16 + r = 16 + \frac{16}{3} = \frac{48+16}{3} = \frac{64}{3} \text{ В} \approx 21.3 \text{ В}$

Для проверки можно использовать значение тока короткого замыкания, которое из графика равно $I_{кз} = 4.0 \text{ А}$ (при $P=0$). Теоретически, $I_{кз} = ℰ/r$. Проверим наши значения: $\frac{64/3 \text{ В}}{16/3 \text{ Ом}} = \frac{64}{16} \text{ А} = 4 \text{ А}$, что совпадает с данными графика и подтверждает верность решения.

Ответ: $\approx 21.3 \text{ В}$.