Номер 1093, страница 201 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

ЭДС источника - $\mathcal{E}$

Внутреннее сопротивление источника - $r$

Сопротивление первого резистора - $R_1 = r$

Сопротивление второго резистора - $R_2 = r$

Найти:

Во сколько раз изменится мощность тока, выделяющаяся на первом резисторе ($P_1$) после подключения второго.

Решение:

Сначала определим мощность $P_1$, которая выделяется на первом резисторе до подключения второго. По закону Ома для полной цепи, сила тока в начальной цепи равна:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + r}$

Согласно условию, $R_1 = r$, поэтому:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{r + r} = \frac{\mathcal{E}}{2r}$

Мощность, выделяющаяся на первом резисторе, вычисляется по формуле $P = I^2 R$:

$P_1 = I_1^2 \cdot R_1 = \left(\frac{\mathcal{E}}{2r}\right)^2 \cdot r = \frac{\mathcal{E}^2}{4r^2} \cdot r = \frac{\mathcal{E}^2}{4r}$

Теперь рассмотрим два случая подключения второго резистора.

а) последовательно с первым

При последовательном подключении второго резистора ($R_2 = r$) общее сопротивление внешней цепи $R_a$ становится:

$R_a = R_1 + R_2 = r + r = 2r$

Ток в цепи $I_a$ теперь будет равен:

$I_a = \frac{\mathcal{E}}{R_a + r} = \frac{\mathcal{E}}{2r + r} = \frac{\mathcal{E}}{3r}$

Так как при последовательном соединении ток во всех элементах цепи одинаков, то новая мощность на первом резисторе $P_{1a}$ составит:

$P_{1a} = I_a^2 \cdot R_1 = \left(\frac{\mathcal{E}}{3r}\right)^2 \cdot r = \frac{\mathcal{E}^2}{9r^2} \cdot r = \frac{\mathcal{E}^2}{9r}$

Чтобы найти, во сколько раз изменилась мощность, найдем отношение начальной мощности к новой:

$\frac{P_1}{P_{1a}} = \frac{\frac{\mathcal{E}^2}{4r}}{\frac{\mathcal{E}^2}{9r}} = \frac{9}{4} = 2,25$

Это означает, что мощность уменьшилась в 2,25 раза.

Ответ: Мощность уменьшится в 2,25 раза.

б) параллельно ему

При параллельном подключении второго резистора ($R_2 = r$) общее сопротивление внешней цепи $R_b$ вычисляется по формуле:

$\frac{1}{R_b} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{2}{r} \implies R_b = \frac{r}{2}$

Общий ток в цепи $I_b$ будет равен:

$I_b = \frac{\mathcal{E}}{R_b + r} = \frac{\mathcal{E}}{\frac{r}{2} + r} = \frac{\mathcal{E}}{\frac{3r}{2}} = \frac{2\mathcal{E}}{3r}$

Поскольку резисторы $R_1$ и $R_2$ имеют одинаковое сопротивление, общий ток $I_b$ разделится между ними поровну. Ток, протекающий через первый резистор, $I_{1b}$ будет:

$I_{1b} = \frac{I_b}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\mathcal{E}}{3r} = \frac{\mathcal{E}}{3r}$

Новая мощность на первом резисторе $P_{1b}$ составит:

$P_{1b} = I_{1b}^2 \cdot R_1 = \left(\frac{\mathcal{E}}{3r}\right)^2 \cdot r = \frac{\mathcal{E}^2}{9r^2} \cdot r = \frac{\mathcal{E}^2}{9r}$

Найдем отношение начальной мощности к новой:

$\frac{P_1}{P_{1b}} = \frac{\frac{\mathcal{E}^2}{4r}}{\frac{\mathcal{E}^2}{9r}} = \frac{9}{4} = 2,25$

В этом случае мощность также уменьшилась в 2,25 раза.

Ответ: Мощность уменьшится в 2,25 раза.