Номер 1094, страница 201 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R_1 = 4,0$ Ом

$R_2 = 9,0$ Ом

$Q_1 = Q_2$ за одинаковый промежуток времени $t$.

Найти:

$r$ - ?

Решение:

Количество теплоты $Q$, выделяющееся в резисторе, определяется законом Джоуля-Ленца:

$Q = I^2 R t$

где $I$ — сила тока, $R$ — сопротивление резистора, $t$ — время.

Сила тока $I$ в полной цепи определяется законом Ома для полной цепи:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R_{общ}} = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

где $\mathcal{E}$ — ЭДС источника, $r$ — его внутреннее сопротивление, $R$ — сопротивление внешней цепи (резистора).

Подставив выражение для силы тока в закон Джоуля-Ленца, получим:

$Q = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R t$

Запишем это выражение для двух случаев, описанных в задаче.

1. Для первого резистора $R_1$:

$Q_1 = \left(\frac{\mathcal{E}}{R_1+r}\right)^2 R_1 t$

2. Для второго резистора $R_2$:

$Q_2 = \left(\frac{\mathcal{E}}{R_2+r}\right)^2 R_2 t$

По условию задачи, количество выделившейся теплоты в обоих случаях одинаково, $Q_1 = Q_2$. Приравняем правые части уравнений:

$\left(\frac{\mathcal{E}}{R_1+r}\right)^2 R_1 t = \left(\frac{\mathcal{E}}{R_2+r}\right)^2 R_2 t$

Сократим в обеих частях уравнения одинаковые множители $\mathcal{E}^2$ и $t$ (так как они не равны нулю):

$\frac{R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{R_2}{(R_2+r)^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (все величины сопротивления положительны):

$\frac{\sqrt{R_1}}{R_1+r} = \frac{\sqrt{R_2}}{R_2+r}$

Используем свойство пропорции:

$\sqrt{R_1}(R_2+r) = \sqrt{R_2}(R_1+r)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $r$:

$R_2\sqrt{R_1} + r\sqrt{R_1} = R_1\sqrt{R_2} + r\sqrt{R_2}$

$r\sqrt{R_2} - r\sqrt{R_1} = R_2\sqrt{R_1} - R_1\sqrt{R_2}$

$r(\sqrt{R_2} - \sqrt{R_1}) = \sqrt{R_1R_2}(\sqrt{R_2} - \sqrt{R_1})$

Поскольку $R_1 \neq R_2$, то $(\sqrt{R_2} - \sqrt{R_1}) \neq 0$, и мы можем разделить обе части на это выражение:

$r = \sqrt{R_1R_2}$

Подставим числовые значения:

$r = \sqrt{4,0 \text{ Ом} \cdot 9,0 \text{ Ом}} = \sqrt{36,0 \text{ Ом}^2} = 6,0 \text{ Ом}$

Ответ: внутреннее сопротивление элемента $r = 6,0$ Ом.