Номер 1095, страница 201 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R_1 = 200$ Ом

$R_2 = 500$ Ом

$P = 200$ Вт

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$I_{к.з.}$

Решение:

Мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении $R$ при подключении к источнику с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$, определяется по формуле, которая является комбинацией закона Джоуля-Ленца и закона Ома для полной цепи:

$P = I^2 R = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$

По условию задачи, при подключении двух разных сопротивлений $R_1$ и $R_2$ к одному и тому же источнику ($\mathcal{E}$ и $r$ постоянны) выделяется одинаковая мощность $P$. Запишем уравнения для обоих случаев:

1. Для сопротивления $R_1$:

$P = \frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2}$

2. Для сопротивления $R_2$:

$P = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2+r)^2}$

Приравняем правые части этих выражений:

$\frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2+r)^2}$

Сократим на $\mathcal{E}^2$ (так как ЭДС источника не равна нулю):

$\frac{R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{R_2}{(R_2+r)^2}$

Преобразуем это уравнение для нахождения внутреннего сопротивления $r$:

$R_1 (R_2+r)^2 = R_2 (R_1+r)^2$

$R_1 (R_2^2 + 2R_2 r + r^2) = R_2 (R_1^2 + 2R_1 r + r^2)$

$R_1 R_2^2 + 2R_1 R_2 r + R_1 r^2 = R_2 R_1^2 + 2R_1 R_2 r + R_2 r^2$

Сократим одинаковые слагаемые $2R_1 R_2 r$:

$R_1 R_2^2 + R_1 r^2 = R_2 R_1^2 + R_2 r^2$

$r^2(R_1 - R_2) = R_1 R_2 (R_1 - R_2)$

Поскольку $R_1 \neq R_2$, мы можем разделить обе части на $(R_1 - R_2)$:

$r^2 = R_1 R_2 \implies r = \sqrt{R_1 R_2}$

Теперь найдем ЭДС источника $\mathcal{E}$, выразив ее из уравнения для первого случая:

$P(R_1+r)^2 = \mathcal{E}^2 R_1 \implies \mathcal{E} = (R_1+r) \sqrt{\frac{P}{R_1}}$

Сила тока короткого замыкания $I_{к.з.}$ возникает, когда внешнее сопротивление равно нулю ($R=0$). По закону Ома для полной цепи:

$I_{к.з.} = \frac{\mathcal{E}}{r}$

Подставим найденные выражения для $\mathcal{E}$ и $r$:

$I_{к.з.} = \frac{(R_1+r) \sqrt{\frac{P}{R_1}}}{r} = \left(\frac{R_1}{r} + 1\right) \sqrt{\frac{P}{R_1}}$

Заменим $r$ на $\sqrt{R_1 R_2}$:

$I_{к.з.} = \left(\frac{R_1}{\sqrt{R_1 R_2}} + 1\right) \sqrt{\frac{P}{R_1}} = \left(\sqrt{\frac{R_1}{R_2}} + 1\right) \frac{\sqrt{P}}{\sqrt{R_1}} = \sqrt{P} \left(\frac{1}{\sqrt{R_2}} + \frac{1}{\sqrt{R_1}}\right)$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$I_{к.з.} = \sqrt{200} \left(\frac{1}{\sqrt{500}} + \frac{1}{\sqrt{200}}\right)$

$I_{к.з.} = \sqrt{100 \cdot 2} \left(\frac{1}{\sqrt{100 \cdot 5}} + \frac{1}{\sqrt{100 \cdot 2}}\right) = 10\sqrt{2} \left(\frac{1}{10\sqrt{5}} + \frac{1}{10\sqrt{2}}\right)$

$I_{к.з.} = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{2}{5}} + 1$

$I_{к.з.} = \sqrt{0.4} + 1 \approx 0.632 + 1 = 1.632$ А.

Ответ: Сила тока при коротком замыкании $I_{к.з.} \approx 1.63$ А.