Номер 1096, страница 201 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Сопротивление первого резистора: $R_1$
Сопротивление второго резистора: $R_2$
Мощность, выделяемая на резисторах: $P_1 = P_2 = P$

Найти:

ЭДС источника: $ℰ$

Решение:

Мощность тока $P$, выделяемая на внешнем сопротивлении $R$, при подключении к источнику с ЭДС $ℰ$ и внутренним сопротивлением $r$, определяется по формуле, следующей из закона Ома для полной цепи $I = \frac{ℰ}{R+r}$ и закона Джоуля-Ленца $P = I^2 R$:

$P = \left(\frac{ℰ}{R+r}\right)^2 R = \frac{ℰ^2 R}{(R+r)^2}$

Запишем это выражение для двух случаев, описанных в задаче.

1. Для первого резистора с сопротивлением $R_1$:

$P = \frac{ℰ^2 R_1}{(R_1+r)^2}$ (1)

2. Для второго резистора с сопротивлением $R_2$:

$P = \frac{ℰ^2 R_2}{(R_2+r)^2}$ (2)

Поскольку мощность в обоих случаях одинакова, мы можем приравнять правые части этих уравнений:

$\frac{ℰ^2 R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{ℰ^2 R_2}{(R_2+r)^2}$

Сократим $ℰ^2$ (так как ЭДС не равна нулю) и решим уравнение относительно внутреннего сопротивления $r$:

$\frac{R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{R_2}{(R_2+r)^2}$

$R_1(R_2+r)^2 = R_2(R_1+r)^2$

$R_1(R_2^2 + 2R_2r + r^2) = R_2(R_1^2 + 2R_1r + r^2)$

$R_1R_2^2 + 2R_1R_2r + R_1r^2 = R_2R_1^2 + 2R_1R_2r + R_2r^2$

Сократив одинаковые члены $2R_1R_2r$, получим:

$R_1R_2^2 + R_1r^2 = R_2R_1^2 + R_2r^2$

Сгруппируем члены с $r^2$ в одной части уравнения, а остальные в другой:

$R_1r^2 - R_2r^2 = R_2R_1^2 - R_1R_2^2$

$r^2(R_1 - R_2) = R_1R_2(R_1 - R_2)$

Так как сопротивления резисторов различны ($R_1 \neq R_2$), мы можем разделить обе части на $(R_1 - R_2)$:

$r^2 = R_1R_2$

Отсюда внутреннее сопротивление источника:

$r = \sqrt{R_1R_2}$

Теперь найдем ЭДС $ℰ$, выразив ее из формулы для мощности (1):

$P = \frac{ℰ^2 R_1}{(R_1+r)^2} \Rightarrow ℰ^2 = \frac{P(R_1+r)^2}{R_1} \Rightarrow ℰ = (R_1+r)\sqrt{\frac{P}{R_1}}$

Подставим найденное значение $r = \sqrt{R_1R_2}$ в выражение для $ℰ$:

$ℰ = (R_1+\sqrt{R_1R_2})\sqrt{\frac{P}{R_1}}$

Упростим полученное выражение:

$ℰ = (\sqrt{R_1}^2+\sqrt{R_1}\sqrt{R_2})\frac{\sqrt{P}}{\sqrt{R_1}} = \sqrt{R_1}(\sqrt{R_1}+\sqrt{R_2})\frac{\sqrt{P}}{\sqrt{R_1}}$

После сокращения $\sqrt{R_1}$ получаем:

$ℰ = (\sqrt{R_1}+\sqrt{R_2})\sqrt{P}$

Ответ: $ℰ = (\sqrt{R_1}+\sqrt{R_2})\sqrt{P}$