Номер 1101, страница 202 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

КПД аккумулятора с сопротивлением $R_1$: $\eta_1 = 60\%$

КПД аккумулятора с сопротивлением $R_2$: $\eta_2 = 80\%$

Перевод в дольные единицы:

$\eta_1 = 0.6$

$\eta_2 = 0.8$

Найти:

$\eta_a$ - КПД при последовательном соединении сопротивлений.

$\eta_б$ - КПД при параллельном соединении сопротивлений.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) источника тока определяется как отношение полезной мощности, выделяемой на внешнем сопротивлении $R$, к полной мощности, развиваемой источником.

$\eta = \frac{P_{полезная}}{P_{полная}}$

Полезная мощность: $P_{полезная} = I^2 R$, где $I$ - сила тока в цепи.

Полная мощность: $P_{полная} = I^2 (R+r)$, где $r$ - внутреннее сопротивление аккумулятора.

Таким образом, формула для КПД:

$\eta = \frac{I^2 R}{I^2 (R+r)} = \frac{R}{R+r}$

Из этой формулы выразим внешнее сопротивление $R$ через КПД $\eta$ и внутреннее сопротивление $r$:

$\eta(R+r) = R \implies \eta R + \eta r = R \implies \eta r = R(1-\eta) \implies R = r \frac{\eta}{1-\eta}$

Теперь найдем сопротивления $R_1$ и $R_2$ через внутреннее сопротивление аккумулятора $r$:

Для первого случая:

$R_1 = r \frac{\eta_1}{1-\eta_1} = r \frac{0.6}{1-0.6} = r \frac{0.6}{0.4} = 1.5r$

Для второго случая:

$R_2 = r \frac{\eta_2}{1-\eta_2} = r \frac{0.8}{1-0.8} = r \frac{0.8}{0.2} = 4r$

Теперь мы можем рассчитать КПД для случаев последовательного и параллельного соединения.

а) последовательно

При последовательном соединении общее внешнее сопротивление равно сумме сопротивлений:

$R_a = R_1 + R_2 = 1.5r + 4r = 5.5r$

КПД аккумулятора в этом случае будет:

$\eta_a = \frac{R_a}{R_a+r} = \frac{5.5r}{5.5r+r} = \frac{5.5r}{6.5r} = \frac{5.5}{6.5} = \frac{11}{13}$

$\eta_a \approx 0.846$ или $84.6\%$

Ответ: При последовательном соединении КПД аккумулятора будет равен $\frac{11}{13}$ или примерно $84.6\%$.

б) параллельно

При параллельном соединении общее внешнее сопротивление находится по формуле:

$R_б = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{1.5r \cdot 4r}{1.5r + 4r} = \frac{6r^2}{5.5r} = \frac{6}{5.5}r = \frac{12}{11}r$

КПД аккумулятора в этом случае будет:

$\eta_б = \frac{R_б}{R_б+r} = \frac{\frac{12}{11}r}{\frac{12}{11}r+r} = \frac{\frac{12}{11}r}{(\frac{12}{11}+1)r} = \frac{\frac{12}{11}}{\frac{23}{11}} = \frac{12}{23}$

$\eta_б \approx 0.522$ или $52.2\%$

Ответ: При параллельном соединении КПД аккумулятора будет равен $\frac{12}{23}$ или примерно $52.2\%$.