Номер 1106, страница 202 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Мощность генератора: $P_0$

Сопротивление проводов: $R$

ЭДС генератора: $\mathscr{E}$

Внутреннее сопротивление генератора: $r=0$

Найти:

КПД линии электропередачи: $\eta$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) линии электропередачи $\eta$ определяется как отношение полезной мощности, полученной потребителем ($P_{потр}$), к полной мощности, которую генератор отдает во внешнюю цепь ($P_0$).

$\eta = \frac{P_{потр}}{P_0}$

Полная мощность, отдаваемая генератором во внешнюю цепь, равна $P_0$. Поскольку по условию внутренним сопротивлением генератора можно пренебречь ($r=0$), напряжение на его клеммах равно его ЭДС: $U = \mathscr{E}$.

Мощность $P_0$ связана с ЭДС $\mathscr{E}$ и силой тока $I$ в цепи следующим соотношением:

$P_0 = I \cdot \mathscr{E}$

Из этого выражения можно выразить силу тока в цепи:

$I = \frac{P_0}{\mathscr{E}}$

При передаче электроэнергии по проводам часть мощности теряется на их нагревание. Мощность потерь ($P_{потерь}$) в проводах с сопротивлением $R$ можно рассчитать по закону Джоуля-Ленца:

$P_{потерь} = I^2 R$

Подставим в эту формулу ранее найденное выражение для силы тока $I$:

$P_{потерь} = \left(\frac{P_0}{\mathscr{E}}\right)^2 R = \frac{P_0^2 R}{\mathscr{E}^2}$

Полезная мощность, которая доходит до потребителя, равна разности мощности, отдаваемой генератором, и мощности потерь в линии передачи:

$P_{потр} = P_0 - P_{потерь} = P_0 - \frac{P_0^2 R}{\mathscr{E}^2}$

Теперь мы можем рассчитать КПД, подставив выражение для полезной мощности в его определение:

$\eta = \frac{P_{потр}}{P_0} = \frac{P_0 - \frac{P_0^2 R}{\mathscr{E}^2}}{P_0}$

Разделив почленно числитель на знаменатель, получим окончательную формулу для КПД:

$\eta = \frac{P_0}{P_0} - \frac{P_0^2 R}{P_0 \mathscr{E}^2} = 1 - \frac{P_0 R}{\mathscr{E}^2}$

Ответ: $\eta = 1 - \frac{P_0 R}{\mathscr{E}^2}$