Номер 1107, страница 202 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$U_1 = 6,0 \text{ кВ}$

$P = 1,0 \text{ МВт}$

$\Delta W = 0,22 \text{ МВт} \cdot \text{ч}$

$t = 1 \text{ сутки}$

$k = 0,10 \%$

$U_1 = 6,0 \times 10^3 \text{ В}$

$P = 1,0 \times 10^6 \text{ Вт}$

$\Delta W_1 = 0,22 \text{ МВт} \cdot \text{ч} = 0,22 \times 10^6 \text{ Вт} \cdot 3600 \text{ с} = 7,92 \times 10^8 \text{ Дж}$

$t = 1 \text{ сутки} = 24 \text{ ч} = 86400 \text{ с}$

$k = 0,10 \% = 0,001$

Найти:

$n$

Решение:

Потери мощности при передаче электроэнергии по проводам определяются по закону Джоуля-Ленца:

$\Delta P = I^2 R$, где $I$ - сила тока в линии, $R$ - сопротивление проводов.

Силу тока можно выразить через передаваемую мощность $P$ и напряжение $U$:

$I = \frac{P}{U}$

Тогда формула для потерь мощности примет вид:

$\Delta P = \left(\frac{P}{U}\right)^2 R = \frac{P^2 R}{U^2}$

Потери электроэнергии $\Delta W$ за время $t$ равны:

$\Delta W = \Delta P \cdot t = \frac{P^2 R t}{U^2}$

Из этой формулы видно, что при постоянной передаваемой мощности $P$ и неизменном сопротивлении линии $R$ потери электроэнергии обратно пропорциональны квадрату напряжения: $\Delta W \propto \frac{1}{U^2}$.

Запишем это соотношение для двух случаев: начального (индекс 1) и нового (индекс 2).

$\frac{\Delta W_2}{\Delta W_1} = \frac{1/U_2^2}{1/U_1^2} = \left(\frac{U_1}{U_2}\right)^2$

По условию, необходимо найти, во сколько раз $n$ нужно повысить напряжение, то есть $n = \frac{U_2}{U_1}$.

Тогда $\frac{\Delta W_2}{\Delta W_1} = \left(\frac{1}{n}\right)^2 = \frac{1}{n^2}$, откуда $n = \sqrt{\frac{\Delta W_1}{\Delta W_2}}$.

Найдем величину потерь $\Delta W_2$, которая соответствует $k = 0,10 \%$.

Сначала определим общую энергию, передаваемую за сутки:

$W_{общ} = P \cdot t = 1,0 \text{ МВт} \cdot 24 \text{ ч} = 24 \text{ МВт} \cdot \text{ч}$

Допустимые потери $\Delta W_2$ составляют $k = 0,10 \%$ от этой энергии:

$\Delta W_2 = k \cdot W_{общ} = 0,001 \cdot 24 \text{ МВт} \cdot \text{ч} = 0,024 \text{ МВт} \cdot \text{ч}$

Теперь можем найти искомое отношение напряжений $n$:

$n = \sqrt{\frac{\Delta W_1}{\Delta W_2}} = \sqrt{\frac{0,22 \text{ МВт} \cdot \text{ч}}{0,024 \text{ МВт} \cdot \text{ч}}} = \sqrt{\frac{220}{24}} = \sqrt{\frac{55}{6}} \approx 3,02765$

Округляя до двух значащих цифр (в соответствии с данными задачи), получаем $n \approx 3,0$.

Ответ: Напряжение необходимо повысить примерно в 3,0 раза.