Номер 1100, страница 202 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R_1 = 3.0 \text{ Ом}$

$R_2 = 11 \text{ Ом}$

$\eta_2 = 2 \eta_1$

Найти:

$r$ - ?

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) источника тока $\eta$ определяется как отношение полезной мощности $P_{полезн.}$, выделяемой на внешнем сопротивлении $R$, к полной мощности $P_{полн.}$, развиваемой источником. Полная мощность выделяется на полном сопротивлении цепи, состоящем из внешнего сопротивления $R$ и внутреннего сопротивления источника $r$.

Формула для КПД источника:

$\eta = \frac{P_{полезн.}}{P_{полн.}} = \frac{I^2 R}{I^2 (R+r)} = \frac{R}{R+r}$

где $I$ — сила тока в цепи.

Запишем выражения для КПД для двух состояний цепи, описанных в задаче.

В первом случае, когда внешнее сопротивление $R_1 = 3.0 \text{ Ом}$, КПД равен:

$\eta_1 = \frac{R_1}{R_1 + r} = \frac{3}{3 + r}$

Во втором случае, когда внешнее сопротивление $R_2 = 11 \text{ Ом}$, КПД равен:

$\eta_2 = \frac{R_2}{R_2 + r} = \frac{11}{11 + r}$

Согласно условию, при изменении сопротивления с $R_1$ на $R_2$, КПД увеличился вдвое, то есть $\eta_2 = 2 \eta_1$.

Подставим выражения для $\eta_1$ и $\eta_2$ в это соотношение:

$\frac{11}{11 + r} = 2 \cdot \frac{3}{3 + r}$

Упростим полученное уравнение:

$\frac{11}{11 + r} = \frac{6}{3 + r}$

Решим это уравнение относительно неизвестной величины $r$, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$11 \cdot (3 + r) = 6 \cdot (11 + r)$

Раскроем скобки:

$33 + 11r = 66 + 6r$

Перенесем слагаемые, содержащие $r$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую:

$11r - 6r = 66 - 33$

$5r = 33$

Отсюда находим внутреннее сопротивление $r$:

$r = \frac{33}{5} = 6.6 \text{ Ом}$

Ответ: внутреннее сопротивление источника равно 6.6 Ом.