Номер 1098, страница 201 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Источник постоянного тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$.

Два потребителя с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$.

Два способа подключения: последовательное и параллельное.

Найти:

В каком случае КПД источника тока будет больше?

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) источника тока определяется как отношение полезной мощности, выделяющейся во внешней цепи, к полной мощности, развиваемой источником.

Формула для КПД источника тока имеет вид:

$\eta = \frac{P_{полезн}}{P_{полн}} = \frac{I^2 R_{внеш}}{I^2 (R_{внеш} + r)} = \frac{R_{внеш}}{R_{внеш} + r}$

где $R_{внеш}$ — сопротивление внешней цепи (сопротивление потребителей), а $r$ — внутреннее сопротивление источника.

Из этой формулы видно, что КПД источника $\eta$ тем больше, чем больше сопротивление внешней цепи $R_{внеш}$ по сравнению с внутренним сопротивлением $r$. Для ответа на вопрос задачи необходимо сравнить внешние сопротивления при последовательном и параллельном соединениях.

1. Последовательное соединение.

При последовательном соединении общее сопротивление внешней цепи равно сумме сопротивлений потребителей:

$R_{посл} = R_1 + R_2$

КПД источника в этом случае равен:

$\eta_{посл} = \frac{R_{посл}}{R_{посл} + r} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 + R_2 + r}$

2. Параллельное соединение.

При параллельном соединении общее сопротивление внешней цепи находится по формуле:

$R_{пар} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

КПД источника в этом случае равен:

$\eta_{пар} = \frac{R_{пар}}{R_{пар} + r} = \frac{\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}}{\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} + r}$

Сравним общее сопротивление внешней цепи в обоих случаях: $R_{посл}$ и $R_{пар}$.

Рассмотрим их разность:

$R_{посл} - R_{пар} = (R_1 + R_2) - \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{(R_1 + R_2)^2 - R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{R_1^2 + 2R_1 R_2 + R_2^2 - R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2}{R_1 + R_2}$

Поскольку сопротивления $R_1$ и $R_2$ являются положительными величинами ($R_1 > 0$, $R_2 > 0$), то числитель $R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2 > 0$ и знаменатель $R_1 + R_2 > 0$. Следовательно, их разность всегда положительна:

$R_{посл} - R_{пар} > 0 \implies R_{посл} > R_{пар}$

Так как сопротивление при последовательном соединении всегда больше, чем при параллельном, и КПД источника, как было показано, увеличивается с ростом внешнего сопротивления, то КПД при последовательном соединении будет больше, чем при параллельном.

$\eta_{посл} > \eta_{пар}$

Ответ:

КПД источника тока будет больше при последовательном подключении потребителей.