Номер 1097, страница 201 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R_1 = 3,0$ Ом

$R_2 = 12$ Ом

$P_1 = P_2$

Найти:

$r$ - ?

$\eta_1$ - ?

$\eta_2$ - ?

Решение:

внутреннее сопротивление r источника

Мощность $P$, выделяемая на внешнем сопротивлении $R$, при подключении к источнику с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$, вычисляется по формуле $P = I^2 R$. Сила тока $I$ в цепи определяется законом Ома для полной цепи: $I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$. Объединяя эти формулы, получаем выражение для мощности:

$P = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$

Согласно условию, мощность, потребляемая обеими лампочками, одинакова ($P_1 = P_2$). Запишем это равенство, используя полученную формулу для мощности:

$\frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2+r)^2}$

Сократив на $\mathcal{E}^2$, получим:

$\frac{R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{R_2}{(R_2+r)^2}$

Из этого соотношения выведем $r$:

$R_1(R_2+r)^2 = R_2(R_1+r)^2$

$R_1(R_2^2 + 2R_2r + r^2) = R_2(R_1^2 + 2R_1r + r^2)$

$R_1R_2^2 + 2R_1R_2r + R_1r^2 = R_2R_1^2 + 2R_1R_2r + R_2r^2$

Сократим одинаковые слагаемые $2R_1R_2r$:

$R_1R_2^2 + R_1r^2 = R_2R_1^2 + R_2r^2$

Сгруппируем члены, содержащие $r^2$:

$r^2(R_1 - R_2) = R_1R_2(R_1 - R_2)$

Так как $R_1 \neq R_2$, можно разделить обе части на $(R_1 - R_2)$:

$r^2 = R_1R_2$

$r = \sqrt{R_1R_2}$

Подставим числовые значения:

$r = \sqrt{3,0 \text{ Ом} \cdot 12 \text{ Ом}} = \sqrt{36 \text{ Ом}^2} = 6,0$ Ом.

Ответ: внутреннее сопротивление источника $r = 6,0$ Ом.

КПД $\eta_1$ и $\eta_2$ источника тока в каждом случае

КПД (коэффициент полезного действия) источника тока определяется как отношение полезной мощности, выделяемой на внешней нагрузке, к полной мощности, развиваемой источником:

$\eta = \frac{P_{полезная}}{P_{полная}} = \frac{I^2 R}{I^2 (R+r)} = \frac{R}{R+r}$

Рассчитаем КПД для первого случая, когда подключена лампочка с сопротивлением $R_1$:

$\eta_1 = \frac{R_1}{R_1+r} = \frac{3,0 \text{ Ом}}{3,0 \text{ Ом} + 6,0 \text{ Ом}} = \frac{3,0}{9,0} = \frac{1}{3}$

В процентах это составляет $\eta_1 \approx 33,3\%$.

Рассчитаем КПД для второго случая, когда подключена лампочка с сопротивлением $R_2$:

$\eta_2 = \frac{R_2}{R_2+r} = \frac{12 \text{ Ом}}{12 \text{ Ом} + 6,0 \text{ Ом}} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

В процентах это составляет $\eta_2 \approx 66,7\%$.

Ответ: КПД в первом случае $\eta_1 = 1/3 \approx 33,3\%$, во втором случае $\eta_2 = 2/3 \approx 66,7\%$.