Номер 1105, страница 202 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$P = 0,10 \text{ МВт}$

$l = 7,5 \text{ км}$

$k = 3,0 \% $

$U = 6,0 \text{ кВ}$

$P = 0,10 \cdot 10^6 \text{ Вт} = 10^5 \text{ Вт}$
$l = 7,5 \cdot 10^3 \text{ м}$
$k = 0,03$
$U = 6,0 \cdot 10^3 \text{ В}$

Найти:

$m$

Решение:

Для решения задачи предположим, что провода изготовлены из меди. Удельное сопротивление меди $\rho = 1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$, плотность меди $d = 8960 \text{ кг/м}^3$.

Электрическая энергия передается по двухпроводной линии, поэтому общая длина проводов составляет $L = 2l$.

1. Найдем силу тока $I$ в линии передачи, используя формулу мощности: $P = UI$.

$I = \frac{P}{U}$

2. Мощность потерь $P_{потерь}$ на нагревание проводов не должна превышать $k$ от передаваемой мощности $P$.

$P_{потерь} = k \cdot P$

3. Мощность потерь также можно выразить через закон Джоуля-Ленца: $P_{потерь} = I^2 R$, где $R$ – сопротивление всей линии (обоих проводов).

4. Из этих соотношений найдем максимально допустимое сопротивление линии $R$:

$kP = I^2 R = \left(\frac{P}{U}\right)^2 R = \frac{P^2}{U^2} R$

Отсюда $R = \frac{kP U^2}{P^2} = \frac{k U^2}{P}$.

5. Сопротивление проводника также связано с его геометрическими размерами и материалом: $R = \frac{\rho L}{S}$, где $L$ – общая длина проводов, $S$ – площадь их поперечного сечения.

Так как $L=2l$, то $R = \frac{2\rho l}{S}$.

6. Приравнивая два выражения для сопротивления $R$, найдем необходимую площадь поперечного сечения провода $S$:

$\frac{2\rho l}{S} = \frac{k U^2}{P}$

$S = \frac{2\rho l P}{k U^2}$

7. Масса проводов $m$ находится как произведение плотности материала $d$ на их общий объем $V = S \cdot L = S \cdot 2l$.

$m = d \cdot V = d \cdot S \cdot 2l = d \cdot \left(\frac{2\rho l P}{k U^2}\right) \cdot 2l = \frac{4 d \rho l^2 P}{k U^2}$

8. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$m = \frac{4 \cdot 8960 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot (7,5 \cdot 10^3 \text{ м})^2 \cdot 10^5 \text{ Вт}}{0,03 \cdot (6,0 \cdot 10^3 \text{ В})^2}$

$m = \frac{4 \cdot 8960 \cdot 1,7 \cdot 10^{-8} \cdot 56,25 \cdot 10^6 \cdot 10^5}{0,03 \cdot 36 \cdot 10^6} \text{ кг}$

$m = \frac{3427200 \cdot 10^3}{1,08 \cdot 10^6} \text{ кг} \approx 3173 \text{ кг}$

С учетом того, что исходные данные даны с двумя значащими цифрами, округлим результат.

$m \approx 3,2 \cdot 10^3 \text{ кг} = 3,2 \text{ т}$.

Ответ: масса проводов должна быть $3,2 \text{ т}$.