Номер 1112, страница 203 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Материал - никелин

$S = 0,84 \text{ мм}^2$

$U = 0,22 \text{ кВ}$

$V = 2,0 \text{ л}$

$t_1 = 20 \text{ °C}$

$\tau = 10 \text{ мин}$

$\eta = 80 \%$

Перевод в систему СИ:

$S = 0,84 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$U = 0,22 \cdot 10^3 \text{ В} = 220 \text{ В}$

$V = 2,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$t_2 = 100 \text{ °C}$ (температура кипения воды)

$\Delta t = t_2 - t_1 = 100 - 20 = 80 \text{ °C}$

$\tau = 10 \cdot 60 \text{ с} = 600 \text{ с}$

$\eta = 80\% = 0,8$

Справочные данные:

Удельное сопротивление никелина $\rho = 0,4 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Удельная теплоемкость воды $c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Плотность воды $\rho_{воды} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

$l$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) нагревателя определяется как отношение полезной работы (теплоты, пошедшей на нагрев воды) к затраченной работе (работе электрического тока):

$\eta = \frac{Q_{полезная}}{W_{затраченная}}$

Полезная теплота $Q_{полезная}$ — это количество теплоты, необходимое для нагрева воды от начальной температуры до температуры кипения:

$Q_{полезная} = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$

Массу воды $m$ найдем через ее объем $V$ и плотность $\rho_{воды}$:

$m = \rho_{воды} \cdot V$

Таким образом, $Q_{полезная} = c \cdot \rho_{воды} \cdot V \cdot (t_2 - t_1)$.

Затраченная работа $W_{затраченная}$ — это работа электрического тока, которая по закону Джоуля-Ленца равна:

$W_{затраченная} = P \cdot \tau = \frac{U^2}{R} \cdot \tau$

Здесь $R$ — сопротивление никелиновой проволоки, которое зависит от ее длины $l$, площади поперечного сечения $S$ и удельного сопротивления материала $\rho$:

$R = \rho \frac{l}{S}$

Подставим все выражения в формулу для КПД:

$\eta = \frac{c \cdot \rho_{воды} \cdot V \cdot (t_2 - t_1)}{\frac{U^2}{R} \cdot \tau} = \frac{c \cdot \rho_{воды} \cdot V \cdot (t_2 - t_1) \cdot R}{U^2 \cdot \tau}$

Теперь подставим в эту формулу выражение для сопротивления $R$:

$\eta = \frac{c \cdot \rho_{воды} \cdot V \cdot (t_2 - t_1) \cdot (\rho \frac{l}{S})}{U^2 \cdot \tau}$

Выразим из полученного уравнения искомую длину проволоки $l$:

$l = \frac{\eta \cdot U^2 \cdot S \cdot \tau}{c \cdot \rho_{воды} \cdot V \cdot (t_2 - t_1) \cdot \rho}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$l = \frac{0,8 \cdot (220 \text{ В})^2 \cdot 0,84 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 \cdot 600 \text{ с}}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 2,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \cdot (100 \text{ °C} - 20 \text{ °C}) \cdot 0,4 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}}$

$l = \frac{0,8 \cdot 48400 \cdot 0,84 \cdot 10^{-6} \cdot 600}{4200 \cdot 2 \cdot 80 \cdot 0,4 \cdot 10^{-6}} = \frac{0,8 \cdot 48400 \cdot 0,84 \cdot 600}{4200 \cdot 2 \cdot 80 \cdot 0,4}$

$l = \frac{19514880}{268800} = 72,6 \text{ м}$

Ответ: необходимо взять никелиновую проволоку длиной 72,6 м.