Номер 1117, страница 204 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$t_1 = 55,0 \text{ °C}$

$I_1 = 1,40 \text{ А}$

$t_2 = 160 \text{ °C}$

$I_2 = 2,80 \text{ А}$

$I_3 = 2 \cdot I_2$

Все величины, кроме температуры, даны в системе СИ. Температуру можно оставить в градусах Цельсия, так как в законе охлаждения Ньютона используется разность температур, которая одинакова как в шкале Цельсия, так и в шкале Кельвина.

Найти:

$t_3$ — ?

Решение:

При длительном пропускании тока через проволоку устанавливается тепловое равновесие. Это означает, что мощность тепловыделения в проволоке $P_{ген}$ становится равной мощности теплоотдачи в окружающую среду $P_{отд}$.

Мощность тепловыделения определяется законом Джоуля-Ленца:

$P_{ген} = I^2 R$

где $I$ — сила тока, а $R$ — сопротивление проволоки, которое по условию считается постоянным.

Мощность теплоотдачи, согласно условию, пропорциональна разности температур проволоки $t$ и окружающего воздуха $t_{возд}$:

$P_{отд} = k(t - t_{возд})$

где $k$ — коэффициент теплоотдачи, а $t_{возд}$ — постоянная температура воздуха.

В состоянии равновесия $P_{ген} = P_{отд}$, следовательно:

$I^2 R = k(t - t_{возд})$

Из этого уравнения следует, что разность температур $\Delta t = t - t_{возд}$ пропорциональна квадрату силы тока:

$\Delta t = \frac{R}{k} I^2$

Запишем это соотношение для двух первых случаев:

1) $\Delta t_1 = t_1 - t_{возд} = 55,0 - t_{возд}$

2) $\Delta t_2 = t_2 - t_{возд} = 160 - t_{возд}$

Разделив второе уравнение на первое, получим:

$\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1} = \frac{(R/k)I_2^2}{(R/k)I_1^2} = (\frac{I_2}{I_1})^2$

Подставим известные значения:

$\frac{160 - t_{возд}}{55,0 - t_{возд}} = (\frac{2,80 \text{ А}}{1,40 \text{ А}})^2 = 2^2 = 4$

Теперь решим это уравнение относительно $t_{возд}$:

$160 - t_{возд} = 4 \cdot (55,0 - t_{возд})$

$160 - t_{возд} = 220 - 4t_{возд}$

$3t_{возд} = 220 - 160$

$3t_{возд} = 60$

$t_{возд} = 20 \text{ °C}$

Теперь рассмотрим третий случай. Сила тока увеличивается еще в два раза по сравнению со вторым случаем, то есть:

$I_3 = 2 \cdot I_2 = 2 \cdot 2,80 \text{ А} = 5,60 \text{ А}$

Запишем соотношение для второго и третьего случаев:

$\frac{\Delta t_3}{\Delta t_2} = (\frac{I_3}{I_2})^2$

где $\Delta t_3 = t_3 - t_{возд}$.

Найдем $\Delta t_2$:

$\Delta t_2 = t_2 - t_{возд} = 160 \text{ °C} - 20 \text{ °C} = 140 \text{ °C}$

Подставим значения в соотношение:

$\frac{t_3 - 20}{140} = (\frac{5,60 \text{ А}}{2,80 \text{ А}})^2 = 2^2 = 4$

Выразим $t_3$:

$t_3 - 20 = 4 \cdot 140$

$t_3 - 20 = 560$

$t_3 = 560 + 20 = 580 \text{ °C}$

Ответ: Проволока нагреется до температуры 580 °C.