Номер 1115, страница 204 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R_1 = 40,0$ Ом

$\Delta t_1 = 400$ °C

$R_2 = 10,0$ Ом

В системе СИ разность температур в градусах Цельсия равна разности температур в Кельвинах, поэтому $\Delta T_1 = 400$ К. Сопротивления уже даны в единицах СИ.

Найти:

$\Delta t_2$

Решение:

Когда электроплитка достигает постоянной температуры, это означает, что наступает тепловое равновесие. В этом состоянии мощность, выделяемая на спирали в виде тепла (согласно закону Джоуля-Ленца), равна мощности, отдаваемой в окружающую среду (мощности теплоотдачи).

По условию задачи, мощность теплоотдачи $P_{тепл}$ пропорциональна разности температур спирали и окружающего воздуха $\Delta t$:

$P_{тепл} = k \cdot \Delta t$

где $k$ — некоторый коэффициент пропорциональности.

1. В первом случае, когда к сети подключена только спираль плитки, выделяемая на ней электрическая мощность $P_1$ равна:

$P_1 = \frac{U^2}{R_1}$

где $U$ — напряжение в сети.

В состоянии равновесия $P_1 = P_{тепл,1}$, поэтому:

$\frac{U^2}{R_1} = k \cdot \Delta t_1$ (1)

2. Во втором случае, когда последовательно со спиралью включен резистор $R_2$, общее сопротивление цепи становится $R_{общ} = R_1 + R_2$.

Сила тока в цепи теперь будет:

$I_2 = \frac{U}{R_{общ}} = \frac{U}{R_1 + R_2}$

Мощность, выделяемая именно на спирали плитки (сопротивлением $R_1$), будет равна:

$P_2 = I_2^2 \cdot R_1 = \left(\frac{U}{R_1 + R_2}\right)^2 R_1 = \frac{U^2 R_1}{(R_1 + R_2)^2}$

В новом состоянии теплового равновесия $P_2 = P_{тепл,2}$:

$\frac{U^2 R_1}{(R_1 + R_2)^2} = k \cdot \Delta t_2$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2). Чтобы найти $\Delta t_2$, разделим почленно уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{\frac{U^2 R_1}{(R_1 + R_2)^2}}{\frac{U^2}{R_1}} = \frac{k \cdot \Delta t_2}{k \cdot \Delta t_1}$

Сократив одинаковые множители ($U^2$ и $k$), получим:

$\frac{R_1^2}{(R_1 + R_2)^2} = \frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}$

Отсюда выразим искомую разность температур $\Delta t_2$:

$\Delta t_2 = \Delta t_1 \cdot \left(\frac{R_1}{R_1 + R_2}\right)^2$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\Delta t_2 = 400 \, \text{°C} \cdot \left(\frac{40,0 \, \text{Ом}}{40,0 \, \text{Ом} + 10,0 \, \text{Ом}}\right)^2 = 400 \cdot \left(\frac{40}{50}\right)^2 = 400 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 400 \cdot \frac{16}{25}$

$\Delta t_2 = 16 \cdot 16 = 256 \, \text{°C}$

Ответ: $256$ °C.