Номер 1116, страница 204 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R_1 = 20,0 \text{ Ом}$
$R_2 = 10,0 \text{ Ом}$
$\Delta t_1 = 300 \text{ °С}$

$R_1 = 20,0 \text{ Ом}$
$R_2 = 10,0 \text{ Ом}$
$\Delta T_1 = 300 \text{ К}$ (разность температур в °С равна разности температур в К)

Найти:

$\Delta t_2$

Решение:

В установившемся режиме, когда температура печи постоянна, мощность, выделяемая нагревательными секциями, равна мощности теплоотдачи в окружающую среду.

Мощность, выделяемая электрическим нагревателем (мощность тока), определяется по формуле:
$P_{ген} = \frac{U^2}{R_{общ}}$
где $U$ – напряжение в сети (по условию оно неизменно), а $R_{общ}$ – общее сопротивление секций печи.

Мощность теплоотдачи, согласно условию, прямо пропорциональна разности температур печи и комнаты ($\Delta t$):
$P_{тепл} = k \cdot \Delta t$
где $k$ – коэффициент теплоотдачи, который зависит от конструкции печи и условий теплообмена с окружающей средой.

Приравнивая мощности для установившегося режима ($P_{ген} = P_{тепл}$), получаем общее уравнение:
$\frac{U^2}{R_{общ}} = k \cdot \Delta t$

Рассмотрим два случая включения секций.

1. Параллельное включение секций
Общее сопротивление $R_{пар}$ для двух параллельно соединенных резисторов рассчитывается по формуле:
$R_{пар} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$
Для этого случая уравнение теплового баланса имеет вид:
$\frac{U^2}{R_{пар}} = k \cdot \Delta t_1$ (1)

2. Последовательное включение секций
Общее сопротивление $R_{посл}$ для двух последовательно соединенных резисторов равно сумме их сопротивлений:
$R_{посл} = R_1 + R_2$
Уравнение теплового баланса для этого случая:
$\frac{U^2}{R_{посл}} = k \cdot \Delta t_2$ (2)

Для нахождения $\Delta t_2$ составим систему из уравнений (1) и (2) и разделим второе уравнение на первое. Величины $U^2$ и $k$ являются постоянными и сократятся:
$\frac{U^2/R_{посл}}{U^2/R_{пар}} = \frac{k \cdot \Delta t_2}{k \cdot \Delta t_1}$
$\frac{R_{пар}}{R_{посл}} = \frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}$

Выразим из этого соотношения искомое повышение температуры $\Delta t_2$:
$\Delta t_2 = \Delta t_1 \cdot \frac{R_{пар}}{R_{посл}}$
Подставим выражения для $R_{пар}$ и $R_{посл}$:
$\Delta t_2 = \Delta t_1 \cdot \frac{R_1 R_2 / (R_1 + R_2)}{R_1 + R_2} = \Delta t_1 \cdot \frac{R_1 R_2}{(R_1 + R_2)^2}$

Произведем вычисления, подставив числовые значения:
$\Delta t_2 = 300 \text{ °С} \cdot \frac{20,0 \text{ Ом} \cdot 10,0 \text{ Ом}}{(20,0 \text{ Ом} + 10,0 \text{ Ом})^2} = 300 \cdot \frac{200}{(30,0)^2} = 300 \cdot \frac{200}{900} = 300 \cdot \frac{2}{9} = \frac{600}{9} = \frac{200}{3} \approx 66,7 \text{ °С}$

Ответ: повышение температуры печи при последовательном соединении секций составит $\Delta t_2 \approx 66,7 \text{ °С}$.