Номер 1120, страница 205 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$S = 0,8 \, мм^2 = 0,8 \cdot 10^{-6} \, м^2$
$V = 10 \, см^3 = 10 \cdot 10^{-6} \, м^3 = 10^{-5} \, м^3$
$t_1 = 10 \, °C$
$t_2 = 100 \, °C$ (температура кипения воды)
$\tau = 1,0 \, мин = 60 \, с$
$I = 2,4 \, А$
$\eta = 70 \, \% = 0,7$

Справочные данные:
Удельное сопротивление нихрома $\rho \approx 1,1 \cdot 10^{-6} \, Ом \cdot м$
Удельная теплоемкость воды $c = 4200 \, \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Найти:

$m$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) кипятильника определяется как отношение полезной работы (теплоты, пошедшей на нагрев воды $Q_{полезн}$) к затраченной работе (теплоты, выделившейся на нагревателе $Q_{полн}$):

$\eta = \frac{Q_{полезн}}{Q_{полн}}$

Полезная теплота, необходимая для нагрева массы воды $m$ от температуры $t_1$ до температуры кипения $t_2$, вычисляется по формуле:

$Q_{полезн} = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$

Полная теплота, выделяемая кипятильником за время $\tau$ при силе тока $I$, определяется законом Джоуля-Ленца:

$Q_{полн} = I^2 R \tau$

где $R$ — сопротивление нихромовой проволоки.

Сопротивление проволоки можно найти через ее геометрические размеры и удельное сопротивление материала ($\rho$):

$R = \rho \frac{L}{S}$

где $L$ — длина проволоки. Длину проволоки $L$ выразим через ее объем $V$ и площадь поперечного сечения $S$:

$V = L \cdot S \implies L = \frac{V}{S}$

Подставим выражение для $L$ в формулу для сопротивления:

$R = \rho \frac{V/S}{S} = \rho \frac{V}{S^2}$

Теперь объединим все формулы в выражении для КПД:

$\eta = \frac{c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)}{I^2 R \tau} = \frac{c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)}{I^2 (\rho \frac{V}{S^2}) \tau}$

Выразим из этой формулы искомую массу воды $m$:

$m = \frac{\eta \cdot I^2 \cdot \rho \cdot V \cdot \tau}{S^2 \cdot c \cdot (t_2 - t_1)}$

Подставим числовые значения в СИ:

$m = \frac{0,7 \cdot (2,4 \, А)^2 \cdot 1,1 \cdot 10^{-6} \, Ом \cdot м \cdot 10^{-5} \, м^3 \cdot 60 \, с}{(0,8 \cdot 10^{-6} \, м^2)^2 \cdot 4200 \, \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot (100 \, °C - 10 \, °C)}$

$m = \frac{0,7 \cdot 5,76 \cdot 1,1 \cdot 10^{-11} \cdot 60}{0,64 \cdot 10^{-12} \cdot 4200 \cdot 90} \, кг = \frac{266,112 \cdot 10^{-11}}{241920 \cdot 10^{-12}} \, кг$

$m = \frac{2,66112 \cdot 10^{-9}}{2,4192 \cdot 10^{-7}} \, кг \approx 0,011 \, кг$

Переведем массу в граммы: $0,011 \, кг = 11 \, г$.

Ответ: масса воды, которую можно нагреть, составляет приблизительно 0,011 кг (или 11 г).