Номер 1126, страница 206 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Диаметр сосуда $d = 2,0$ см
Электроемкость конденсатора $C = 16$ мкФ
Напряжение на конденсаторе $U = 0,20$ кВ
Атмосферное давление $p_0 = 1,0 \cdot 10^5$ Па
Газ - идеальный одноатомный

$d = 2,0 \text{ см} = 2,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}$
$C = 16 \text{ мкФ} = 16 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$
$U = 0,20 \text{ кВ} = 0,20 \cdot 10^3 \text{ В} = 200 \text{ В}$
$p_0 = 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Найти:

Расстояние $h$

Решение:

После замыкания ключа K конденсатор разряжается через резистор. Энергия, запасенная в конденсаторе, полностью переходит в тепло $Q$, которое выделяется на резисторе. Эта энергия определяется формулой:
$Q = W_C = \frac{CU^2}{2}$

Согласно условию задачи, теплоемкостью сосуда и резистора, а также теплообменом с окружающей средой можно пренебречь. Следовательно, все выделившееся тепло $Q$ передается идеальному газу, находящемуся в сосуде.

Поскольку поршень легкий и может свободно перемещаться, процесс нагревания и расширения газа будет происходить при постоянном давлении (изобарный процесс), равном внешнему атмосферному давлению $p_0$.

Применим к газу первый закон термодинамики, согласно которому полученное газом количество теплоты $Q$ идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение им работы $A$ против внешних сил:
$Q = \Delta U + A$

Работа газа при изобарном процессе вычисляется как:
$A = p_0 \Delta V$
где $\Delta V$ — изменение объема газа. Изменение объема связано с высотой подъема поршня $h$ и площадью поперечного сечения сосуда $S$:
$\Delta V = S \cdot h$
Площадь круга (поршня) выражается через его диаметр $d$:
$S = \frac{\pi d^2}{4}$
Таким образом, работа газа равна:
$A = p_0 \frac{\pi d^2}{4} h$

Изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа определяется выражением:
$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$
где $\nu$ — количество вещества газа, $R$ — универсальная газовая постоянная, $\Delta T$ — изменение температуры.

Из уравнения состояния идеального газа для изобарного процесса (уравнение Клапейрона-Менделеева) следует:
$p_0 \Delta V = \nu R \Delta T$
Так как $A = p_0 \Delta V$, то $\nu R \Delta T = A$. Подставим это соотношение в формулу для изменения внутренней энергии:
$\Delta U = \frac{3}{2} (p_0 \Delta V) = \frac{3}{2} A$

Теперь подставим полученное выражение для $\Delta U$ в первый закон термодинамики:
$Q = \frac{3}{2} A + A = \frac{5}{2} A$

Приравняем энергию, выделившуюся при разрядке конденсатора, и теплоту, полученную газом:
$\frac{CU^2}{2} = \frac{5}{2} A$
Отсюда $CU^2 = 5A$.

Подставим в это равенство выражение для работы $A$:
$CU^2 = 5 \cdot p_0 \frac{\pi d^2}{4} h$

Выразим из полученной формулы искомую высоту $h$:
$h = \frac{4CU^2}{5p_0\pi d^2}$

Подставим числовые значения в системе СИ и произведем вычисления:
$h = \frac{4 \cdot (16 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot (200 \text{ В})^2}{5 \cdot (1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot \pi \cdot (2,0 \cdot 10^{-2} \text{ м})^2} = \frac{4 \cdot 16 \cdot 10^{-6} \cdot 4 \cdot 10^4}{5 \cdot 10^5 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 10^{-4}} = \frac{256 \cdot 10^{-2}}{20 \cdot 10^1 \cdot \pi} = \frac{2,56}{200\pi}$
$h \approx \frac{2,56}{200 \cdot 3,14159} \approx \frac{2,56}{628,318} \approx 0,004074 \text{ м}$

Учитывая, что данные в условии задачи приведены с двумя значащими цифрами, округлим результат до двух значащих цифр:
$h \approx 0,0041 \text{ м} = 4,1 \text{ мм}$

Ответ: $h \approx 4,1 \text{ мм}$.