Номер 1125, страница 205 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Удельная теплоемкость воздуха, $c = 1,0 \frac{кДж}{кг \cdot К}$

Плотность воздуха, $\rho = 1,3 \frac{кг}{м^3}$

Объем сосуда, $V = 1,0 \cdot 10^{-3} м^3$

Начальное давление, $p_0 = 1,0 \cdot 10^5 Па$

Начальная температура, $t_0 = 0,0 °C$

Сила тока, $I = 0,20 А$

Напряжение, $U = 10 В$

КПД нагревателя, $\eta = 50 \%$

Конечное давление, $p = 7,0 \cdot 10^5 Па$

Перевод величин в систему СИ:

$c = 1,0 \cdot 10^3 \frac{Дж}{кг \cdot К}$

$T_0 = t_0 + 273 = 0,0 + 273 = 273 К$

$\eta = 50 \% = 0,5$

Промежуток времени, $\tau$

1. Количество теплоты $Q_{полезн}$, необходимое для нагревания воздуха, определяется по формуле:

$Q_{полезн} = c m \Delta T$

где $c$ — удельная теплоемкость, $m$ — масса воздуха, $\Delta T$ — изменение температуры.

2. Массу воздуха в сосуде найдем, зная его плотность $\rho$ и объем $V$:

$m = \rho V$

3. Поскольку воздух нагревается в закрытом сосуде, объем остается постоянным ($V = const$). Этот процесс является изохорным. Для изохорного процесса справедлив закон Шарля:

$\frac{p_0}{T_0} = \frac{p}{T}$

где $p_0$ и $T_0$ — начальные давление и абсолютная температура, а $p$ и $T$ — конечные.

Из этого соотношения выразим конечную температуру $T$:

$T = T_0 \frac{p}{p_0}$

Тогда изменение температуры $\Delta T$ равно:

$\Delta T = T - T_0 = T_0 \frac{p}{p_0} - T_0 = T_0 (\frac{p}{p_0} - 1)$

4. Энергия $W_{эл}$, выделяемая электрическим нагревателем за время $\tau$, равна работе тока:

$W_{эл} = U I \tau$

5. Полезное количество теплоты, которое идет на нагрев воздуха, составляет часть от всей выделившейся энергии, определяемую КПД $\eta$:

$Q_{полезн} = \eta W_{эл} = \eta U I \tau$

6. Теперь приравняем выражения для $Q_{полезн}$ из пунктов 1 и 5, подставив в них выражения для $m$ и $\Delta T$:

$c (\rho V) T_0 (\frac{p}{p_0} - 1) = \eta U I \tau$

7. Из полученного уравнения выразим искомый промежуток времени $\tau$:

$\tau = \frac{c \rho V T_0 (\frac{p}{p_0} - 1)}{\eta U I}$

8. Подставим числовые значения и произведем расчет:

$\tau = \frac{1,0 \cdot 10^3 \frac{Дж}{кг \cdot К} \cdot 1,3 \frac{кг}{м^3} \cdot 1,0 \cdot 10^{-3} м^3 \cdot 273 К \cdot (\frac{7,0 \cdot 10^5 Па}{1,0 \cdot 10^5 Па} - 1)}{0,5 \cdot 10 В \cdot 0,20 А}$

$\tau = \frac{10^3 \cdot 1,3 \cdot 10^{-3} \cdot 273 \cdot (7,0 - 1)}{1,0} = \frac{1,3 \cdot 273 \cdot 6}{1,0} = 2129,4 с$

Учитывая, что данные в условии задачи представлены с двумя значащими цифрами, округлим результат:

$\tau \approx 2,1 \cdot 10^3 с$

Промежуток времени $\tau$ равен $2129,4 с$, что с учетом точности исходных данных составляет примерно $2,1 \cdot 10^3 с$.