Номер 1127, страница 206 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$\mathscr{E} = 24 \text{ В}$

$r = 2,0 \text{ Ом}$

$C = 30 \text{ мкФ} = 30 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$R_1 = 20 \text{ Ом}$

$R_2 = 15 \text{ Ом}$

$R_3 = 30 \text{ Ом}$

Найти:

$Q_1$

Решение:

Решение задачи можно разделить на два этапа: нахождение энергии, запасенной в конденсаторе, когда ключ K замкнут, и определение, какая часть этой энергии выделится в виде тепла на резисторе $R_1$ после размыкания ключа.

1. Установившийся режим при замкнутом ключе K.

Когда ключ K замкнут в течение длительного времени, конденсатор $C$ полностью заряжается, и ток через ветвь с конденсатором и резистором $R_1$ прекращается. В цепи устанавливается постоянный ток, который течет от источника через внутреннее сопротивление $r$ и параллельно соединенные резисторы $R_2$ и $R_3$.

Найдем эквивалентное сопротивление параллельного участка цепи с резисторами $R_2$ и $R_3$:

$R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} = \frac{15 \text{ Ом} \cdot 30 \text{ Ом}}{15 \text{ Ом} + 30 \text{ Ом}} = \frac{450}{45} \text{ Ом} = 10 \text{ Ом}$.

Полное сопротивление цепи, по которой течет ток, равно сумме внешнего сопротивления $R_{23}$ и внутреннего сопротивления источника $r$:

$R_{полн} = R_{23} + r = 10 \text{ Ом} + 2,0 \text{ Ом} = 12 \text{ Ом}$.

Согласно закону Ома для полной цепи, общий ток от источника равен:

$I = \frac{\mathscr{E}}{R_{полн}} = \frac{24 \text{ В}}{12 \text{ Ом}} = 2 \text{ А}$.

Напряжение на внешнем участке цепи (на параллельно соединенных резисторах $R_2$ и $R_3$) равно:

$U = I \cdot R_{23} = 2 \text{ А} \cdot 10 \text{ Ом} = 20 \text{ В}$.

Ветвь с конденсатором $C$ и резистором $R_1$ подключена параллельно этому участку. Так как ток через эту ветвь не течет, падение напряжения на резисторе $R_1$ равно нулю ($U_{R1} = I_{C} \cdot R_1 = 0 \cdot R_1 = 0$). Следовательно, напряжение на конденсаторе $U_C$ равно напряжению на внешнем участке $U$:

$U_C = U = 20 \text{ В}$.

Энергия $W_C$, запасенная в конденсаторе, вычисляется по формуле:

$W_C = \frac{C U_C^2}{2} = \frac{30 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot (20 \text{ В})^2}{2} = \frac{30 \cdot 10^{-6} \cdot 400}{2} = 6000 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} = 6 \text{ мДж}$.

2. Разрядка конденсатора после размыкания ключа K.

После размыкания ключа K источник тока отключается от цепи. Заряженный конденсатор начинает разряжаться, и вся запасенная в нем энергия $W_C$ переходит в тепло, которое выделяется на резисторах $R_1, R_2$ и $R_3$. Общее количество выделившейся теплоты $Q_{общ}$ равно начальной энергии конденсатора:

$Q_{общ} = W_C = 6 \text{ мДж}$.

Во время разрядки резистор $R_1$ оказывается соединенным последовательно с блоком из параллельно соединенных резисторов $R_2$ и $R_3$. Весь ток разрядки $i(t)$ проходит через $R_1$, а затем разветвляется между $R_2$ и $R_3$.

Количество теплоты, выделяемое на последовательно соединенных участках цепи, распределяется пропорционально их сопротивлениям. В нашем случае это резистор $R_1$ и эквивалентное сопротивление $R_{23}$. Полное сопротивление цепи разрядки $R_{разр}$ равно:

$R_{разр} = R_1 + R_{23} = 20 \text{ Ом} + 10 \text{ Ом} = 30 \text{ Ом}$.

Доля тепла, которая выделится на резисторе $R_1$, равна отношению его сопротивления к полному сопротивлению цепи разрядки:

$\frac{Q_1}{Q_{общ}} = \frac{R_1}{R_{разр}} = \frac{R_1}{R_1 + R_{23}}$.

Отсюда находим искомое количество теплоты $Q_1$:

$Q_1 = Q_{общ} \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_{23}} = 6 \text{ мДж} \cdot \frac{20 \text{ Ом}}{20 \text{ Ом} + 10 \text{ Ом}} = 6 \text{ мДж} \cdot \frac{20}{30} = 6 \cdot \frac{2}{3} \text{ мДж} = 4 \text{ мДж}$.

Ответ: $Q_1 = 4 \text{ мДж}$.