Номер 1114, страница 204 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Номинальное напряжение чайника, $U = 220$ В

Номинальная мощность чайника, $P = 400$ Вт

Количество чайников, $n = 2$

Время закипания при последовательном и параллельном включении одинаково.

Найти:

Сопротивление подводящих проводов, $R$

Решение:

Сначала определим сопротивление нагревательного элемента одного чайника, $R_ч$, исходя из его номинальной мощности $P$ и напряжения $U$.

Из формулы мощности $P = \frac{U^2}{R_ч}$ выразим сопротивление:

$R_ч = \frac{U^2}{P} = \frac{(220 \text{ В})^2}{400 \text{ Вт}} = \frac{48400}{400} \text{ Ом} = 121 \text{ Ом}$.

По условию, время закипания воды $t$ в обоих случаях одинаково. Это означает, что количество теплоты $Q$, выделенное на нагревательных элементах чайников, должно быть одинаковым. Согласно закону Джоуля-Ленца, $Q = P_{полезн} \cdot t$. Из этого следует, что полезная мощность $P_{полезн}$ (мощность, выделяемая именно на чайниках) в обоих вариантах подключения одинакова.

1. Последовательное соединение

При последовательном соединении общее сопротивление цепи складывается из сопротивления двух чайников и сопротивления проводов $R$:

$R_{посл} = R_ч + R_ч + R = 2R_ч + R$

Сила тока в цепи, согласно закону Ома для полной цепи, составляет:

$I_{посл} = \frac{U}{R_{посл}} = \frac{U}{2R_ч + R}$

Полезная мощность, выделяемая на двух чайниках, равна:

$P_{посл.ч} = I_{посл}^2 \cdot (2R_ч) = \left(\frac{U}{2R_ч + R}\right)^2 \cdot 2R_ч$

2. Параллельное соединение

При параллельном соединении эквивалентное сопротивление двух чайников равно:

$R_{ч.пар} = \frac{R_ч \cdot R_ч}{R_ч + R_ч} = \frac{R_ч^2}{2R_ч} = \frac{R_ч}{2}$

Общее сопротивление всей цепи, включая провода, составляет:

$R_{пар} = R_{ч.пар} + R = \frac{R_ч}{2} + R$

Общий ток в цепи равен:

$I_{пар} = \frac{U}{R_{пар}} = \frac{U}{\frac{R_ч}{2} + R}$

Полезная мощность, выделяемая на двух чайниках, равна:

$P_{пар.ч} = I_{пар}^2 \cdot R_{ч.пар} = \left(\frac{U}{\frac{R_ч}{2} + R}\right)^2 \cdot \frac{R_ч}{2}$

3. Нахождение R

Приравниваем полезные мощности: $P_{посл.ч} = P_{пар.ч}$.

$\left(\frac{U}{2R_ч + R}\right)^2 \cdot 2R_ч = \left(\frac{U}{\frac{R_ч}{2} + R}\right)^2 \cdot \frac{R_ч}{2}$

Сокращаем в обеих частях уравнения одинаковые множители $U^2$ и $R_ч$ (так как они не равны нулю):

$\frac{2}{(2R_ч + R)^2} = \frac{1/2}{(\frac{R_ч}{2} + R)^2}$

Преобразуем выражение:

$4 \left(\frac{R_ч}{2} + R\right)^2 = (2R_ч + R)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку сопротивления $R$ и $R_ч$ являются физически положительными величинами, выражения в скобках также будут положительными.

$2 \left(\frac{R_ч}{2} + R\right) = 2R_ч + R$

Раскроем скобки:

$R_ч + 2R = 2R_ч + R$

Выразим $R$:

$2R - R = 2R_ч - R_ч$

$R = R_ч$

Таким образом, сопротивление подводящих проводов равно сопротивлению одного чайника.

Подставляем ранее вычисленное значение $R_ч$:

$R = 121 \text{ Ом}$

Ответ: Сопротивление подводящих проводов равно 121 Ом.