Номер 1111, страница 203 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса трамвая, $m = 23$ т

Уклон, $\sin \alpha = 0,030$

Сила тока на горизонтальном участке, $I_1 = 60$ А

Сила тока на подъеме, $I_2 = 0,12$ кА

Коэффициент сопротивления движению, $\mu = 0,010$

Напряжение в линии, $U = 0,50$ кВ

КПД двигателя, $\eta = 75$ %

Перевод в систему СИ:

$m = 23 \cdot 10^3$ кг

$I_2 = 0,12 \cdot 10^3 \text{ А} = 120$ А

$U = 0,50 \cdot 10^3 \text{ В} = 500$ В

$\eta = 75\% = 0,75$

Найти:

$v_1$ — ?

$v_2$ — ?

Решение:

Полезная механическая мощность, развиваемая двигателем трамвая, связана с потребляемой от сети электрической мощностью через КПД:

$P_{полезн} = \eta P_{электр} = \eta U I$

С другой стороны, эта мощность равна произведению силы тяги $F_{тяги}$ на скорость движения $v$:

$P_{полезн} = F_{тяги} v$

Из этих двух уравнений можно выразить скорость движения:

$v = \frac{\eta U I}{F_{тяги}}$

В условии задачи трамвай движется с постоянными скоростями $v_1$ и $v_2$, следовательно, движение равномерное. При равномерном движении сила тяги двигателя уравновешивает суммарную силу сопротивления движению:

$F_{тяги} = F_{сопр}$

Рассмотрим оба случая движения.

1. Движение по горизонтальному участку.

На горизонтальном участке сила сопротивления — это только сила трения качения. Она пропорциональна силе нормальной реакции опоры $N_1$:

$F_{сопр1} = \mu N_1$

На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции опоры равна силе тяжести $mg$:

$N_1 = mg$

Следовательно, сила тяги $F_{тяги1}$ равна:

$F_{тяги1} = F_{сопр1} = \mu mg$

Теперь можем найти скорость $v_1$:

$v_1 = \frac{\eta U I_1}{F_{тяги1}} = \frac{\eta U I_1}{\mu mg}$

Подставим числовые значения (примем $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$):

$v_1 = \frac{0,75 \cdot 500 \text{ В} \cdot 60 \text{ А}}{0,010 \cdot 23 \cdot 10^3 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2} = \frac{22500}{2254} \approx 9,98 \text{ м/с}$

2. Движение в гору.

При движении на подъеме сила сопротивления состоит из двух частей: силы трения качения $F_{тр2}$ и скатывающей составляющей силы тяжести $F_{скат}$:

$F_{сопр2} = F_{тр2} + F_{скат}$

$F_{скат} = mg \sin\alpha$

Сила трения качения $F_{тр2} = \mu N_2$, где $N_2$ — сила нормальной реакции опоры на наклонной поверхности. Она равна составляющей силы тяжести, перпендикулярной этой поверхности:

$N_2 = mg \cos\alpha$

Таким образом, полная сила сопротивления (и равная ей сила тяги $F_{тяги2}$) равна:

$F_{тяги2} = \mu mg \cos\alpha + mg \sin\alpha = mg(\mu \cos\alpha + \sin\alpha)$

Поскольку уклон мал ($\sin\alpha = 0,030$), угол $\alpha$ также мал, и можно считать, что $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} \approx 1$. Тогда формула для силы тяги упрощается:

$F_{тяги2} \approx mg(\mu + \sin\alpha)$

Теперь можем найти скорость $v_2$:

$v_2 = \frac{\eta U I_2}{F_{тяги2}} = \frac{\eta U I_2}{mg(\mu + \sin\alpha)}$

Подставим числовые значения:

$v_2 = \frac{0,75 \cdot 500 \text{ В} \cdot 120 \text{ А}}{23 \cdot 10^3 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (0,010 + 0,030)} = \frac{45000}{225400 \cdot 0,040} = \frac{45000}{9016} \approx 4,99 \text{ м/с}$

Ответ: скорость трамвая на горизонтальном участке $v_1 \approx 9,98 \text{ м/с}$, скорость на подъеме $v_2 \approx 4,99 \text{ м/с}$.