Номер 1113, страница 203 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$ \Delta t_1 = 15 $ мин

$ \Delta t_2 = 30 $ мин

Найти:

$ \Delta t_a $ — ?

$ \Delta t_b $ — ?

Решение:

Количество теплоты $Q$, необходимое для нагревания и кипячения воды, в каждом случае одинаково. Оно определяется мощностью нагревателя $P$ и временем работы $ \Delta t $:

$ Q = P \cdot \Delta t $

Мощность нагревателя зависит от его сопротивления $R$ и напряжения в сети $U$ (которое считаем постоянным):

$ P = \frac{U^2}{R} $

Тогда количество теплоты можно выразить как:

$ Q = \frac{U^2}{R} \Delta t $

Отсюда можно выразить время, необходимое для закипания воды:

$ \Delta t = \frac{Q \cdot R}{U^2} $

Для первой спирали с сопротивлением $R_1$ время закипания $ \Delta t_1 $: $ \Delta t_1 = \frac{Q \cdot R_1}{U^2} $.

Для второй спирали с сопротивлением $R_2$ время закипания $ \Delta t_2 $: $ \Delta t_2 = \frac{Q \cdot R_2}{U^2} $.

Из этих формул видно, что время закипания прямо пропорционально сопротивлению спирали: $ \Delta t \sim R $.

а) последовательно

При последовательном соединении общее сопротивление цепи $R_a$ равно сумме сопротивлений отдельных спиралей:

$ R_a = R_1 + R_2 $

Время закипания $ \Delta t_a $ при последовательном соединении будет:

$ \Delta t_a = \frac{Q \cdot R_a}{U^2} = \frac{Q \cdot (R_1 + R_2)}{U^2} = \frac{Q \cdot R_1}{U^2} + \frac{Q \cdot R_2}{U^2} $

Так как $ \Delta t_1 = \frac{Q \cdot R_1}{U^2} $ и $ \Delta t_2 = \frac{Q \cdot R_2}{U^2} $, то получаем:

$ \Delta t_a = \Delta t_1 + \Delta t_2 $

Подставим числовые значения:

$ \Delta t_a = 15 \text{ мин} + 30 \text{ мин} = 45 \text{ мин} $

Ответ: при последовательном соединении вода закипит через 45 минут.

б) параллельно

При параллельном соединении общее сопротивление $R_b$ находится из соотношения:

$ \frac{1}{R_b} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} $

Время закипания $ \Delta t_b $ связано с общим сопротивлением $R_b$ так же, как и в предыдущих случаях: $ \Delta t_b = \frac{Q \cdot R_b}{U^2} $.

Выразим сопротивления через время из начальных условий: $ R_1 = \frac{U^2 \Delta t_1}{Q} $ и $ R_2 = \frac{U^2 \Delta t_2}{Q} $.

Так как $ R \sim \Delta t $, то для обратных величин сопротивлений справедливо $ \frac{1}{R} \sim \frac{1}{\Delta t} $. Тогда для параллельного соединения получаем:

$ \frac{1}{\Delta t_b} = \frac{1}{\Delta t_1} + \frac{1}{\Delta t_2} $

Подставим числовые значения:

$ \frac{1}{\Delta t_b} = \frac{1}{15 \text{ мин}} + \frac{1}{30 \text{ мин}} = \frac{2}{30 \text{ мин}} + \frac{1}{30 \text{ мин}} = \frac{3}{30 \text{ мин}} = \frac{1}{10 \text{ мин}} $

Отсюда находим $ \Delta t_b $:

$ \Delta t_b = 10 \text{ мин} $

Ответ: при параллельном соединении вода закипит через 10 минут.