Номер 1089, страница 200 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Источник постоянного тока
ЭДС: $E$
Внутреннее сопротивление: $r$

Найти:

1. Функцию мощности во внешней цепи от силы тока $P(I)$.
2. График функции $P(I)$.
3. Силу тока $I_1$, при которой мощность $P$ будет наибольшей.

Решение:

Выразите мощность тока P во внешнем участке цепи как функцию силы тока I.

Мощность, выделяемая на внешнем участке цепи, определяется как произведение напряжения на этом участке $U$ на силу тока $I$: $P = U \cdot I$

Согласно закону Ома для полной цепи, напряжение на клеммах источника (на внешнем участке цепи) связано с ЭДС $E$ и внутренним сопротивлением $r$ следующим образом: $U = E - I \cdot r$

Подставив выражение для напряжения $U$ в формулу мощности, получим искомую зависимость: $P(I) = (E - I \cdot r) \cdot I = E \cdot I - r \cdot I^2$

Ответ: $P(I) = E \cdot I - r \cdot I^2$

Постройте график этой функции.

Полученная функция $P(I) = -r \cdot I^2 + E \cdot I$ является квадратичной. Её график представляет собой параболу. Поскольку коэффициент при старшем члене ($I^2$) равен $-r$ (величина отрицательная), ветви параболы направлены вниз.

Найдем точки пересечения графика с осью абсцисс (осью тока $I$), приравняв мощность к нулю: $P(I) = 0 \implies I(E - r \cdot I) = 0$ Это уравнение имеет два корня: $I = 0$ (режим холостого хода, цепь разомкнута) и $I = E/r$ (режим короткого замыкания). В обоих случаях полезная мощность, выделяемая во внешней цепи, равна нулю.

Максимум функции достигается в вершине параболы. Координата вершины по оси $I$ находится по формуле $I_{верш} = -b / (2a)$, где в нашем случае $a = -r$ и $b = E$: $I_{верш} = \frac{-E}{2(-r)} = \frac{E}{2r}$

Максимальное значение мощности $P_{max}$ равно значению функции в этой точке: $P_{max} = P(\frac{E}{2r}) = E \cdot (\frac{E}{2r}) - r \cdot (\frac{E}{2r})^2 = \frac{E^2}{2r} - r \cdot \frac{E^2}{4r^2} = \frac{E^2}{2r} - \frac{E^2}{4r} = \frac{E^2}{4r}$

Таким образом, график $P(I)$ представляет собой дугу параболы, которая начинается в начале координат $(0, 0)$, достигает максимального значения $P_{max} = E^2/(4r)$ при $I = E/(2r)$ и возвращается в ноль при токе короткого замыкания $I = E/r$.

Ответ: Графиком является парабола с ветвями, направленными вниз, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(E/r, 0)$, с вершиной (точкой максимума) в точке $(E/(2r), E^2/(4r))$.

При какой силе тока I₁ мощность будет наибольшей?

Как было определено при анализе графика, наибольшее значение мощности соответствует вершине параболы. Абсцисса вершины параболы и есть искомая сила тока $I_1$. $I_1 = \frac{E}{2r}$

Этот же результат можно получить, используя аппарат дифференциального исчисления. Для нахождения максимума функции $P(I)$ необходимо найти её производную по $I$ и приравнять к нулю: $\frac{dP}{dI} = \frac{d}{dI}(E \cdot I - r \cdot I^2) = E - 2 \cdot r \cdot I$

Приравнивая производную к нулю, находим точку экстремума: $E - 2 \cdot r \cdot I_1 = 0$ $2 \cdot r \cdot I_1 = E$ $I_1 = \frac{E}{2r}$

Ответ: $I_1 = \frac{E}{2r}$