Номер 1088, страница 200 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R_1 = 2,0$ Ом

$P_1 = 30$ Вт*

$R_2 = 3,0$ Ом

$P_2 = 27$ Вт

*Примечание: в условии задачи имеется опечатка, мощность $P_1$ указана как $3,0$ Ом. Анализ показывает, что при значении $P_1 = 3,0$ Вт задача приводит к физически невозможному результату (отрицательное внутреннее сопротивление). Наиболее вероятным исправлением, исходя из контекста, является $P_1 = 30$ Вт. Решение приведено для этого значения.

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

$P_{\text{max}}$

Решение:

Мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении $R$, подключенном к источнику с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$, определяется по закону Ома для полной цепи:

$P = I^2 R = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$

На основе этого выражения составим систему уравнений для двух случаев, описанных в задаче:

1. Для первого резистора: $P_1 = \frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2}$

2. Для второго резистора: $P_2 = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2+r)^2}$

Подставим числовые значения из условия:

$30 = \frac{\mathcal{E}^2 \cdot 2}{(2+r)^2}$

$27 = \frac{\mathcal{E}^2 \cdot 3}{(3+r)^2}$

Из каждого уравнения выразим квадрат ЭДС $\mathcal{E}^2$:

$\mathcal{E}^2 = \frac{30(2+r)^2}{2} = 15(2+r)^2$

$\mathcal{E}^2 = \frac{27(3+r)^2}{3} = 9(3+r)^2$

Поскольку ЭДС источника постоянна, приравняем правые части этих выражений для нахождения внутреннего сопротивления $r$:

$15(2+r)^2 = 9(3+r)^2$

Разделим обе части уравнения на 3:

$5(2+r)^2 = 3(3+r)^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5(4 + 4r + r^2) = 3(9 + 6r + r^2)$

$20 + 20r + 5r^2 = 27 + 18r + 3r^2$

$2r^2 + 2r - 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $r$:

$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(2)(-7)}}{2(2)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 56}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{60}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{15}}{2}$

Так как сопротивление не может быть отрицательной величиной, выбираем корень со знаком «плюс»:

$r = \frac{\sqrt{15}-1}{2}$ Ом

Наибольшая мощность $P_{\text{max}}$, которую может отдать источник, выделяется во внешней цепи при условии, что сопротивление внешней цепи равно внутреннему сопротивлению источника, то есть $R = r$. Эта мощность называется мощностью согласованной нагрузки.

Формула для максимальной мощности имеет вид:

$P_{\text{max}} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r}$

Найдем $\mathcal{E}^2$, используя ранее полученное выражение и значение $r$:

$\mathcal{E}^2 = 9(3+r)^2 = 9\left(3 + \frac{\sqrt{15}-1}{2}\right)^2 = 9\left(\frac{6+\sqrt{15}-1}{2}\right)^2 = 9\left(\frac{5+\sqrt{15}}{2}\right)^2$

Теперь подставим выражения для $\mathcal{E}^2$ и $r$ в формулу для $P_{\text{max}}$ и произведем вычисления:

$r \approx \frac{3,873 - 1}{2} \approx 1,4365$ Ом

$\mathcal{E}^2 = 9(3 + 1,4365)^2 = 9(4,4365)^2 \approx 9 \cdot 19,683 \approx 177,15$ В$^2$

$P_{\text{max}} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r} \approx \frac{177,15}{4 \cdot 1,4365} \approx \frac{177,15}{5,746} \approx 30,83$ Вт

С учетом точности исходных данных (две значащие цифры) округлим результат.

Ответ: $P_{\text{max}} \approx 31$ Вт.